浙江高考数学专题三数列与不等式规范答题示例5数列的通项与求和问题学案.doc

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1、规范答题示例5　数列的通项与求和问题典例5　(15分)已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝，n∈N*，Sn为{an}的前n项和．(1)求证：当n∈N*时，an>an＋1；(2)求证：当n∈N*时，2≤Sn－2n<.审题路线图　(1)(2)―→―→―→―→规范解答·分步得分构建答题模板证明　(1)当n≥2时，因为an－an＋1＝－＝，2分所以an－an＋1与an－1－an同号.3分又因为a1＝4，a2＝，a1－a2>0，所以当n∈N*时，an>an＋1.5分(2)由条件易得2a＝6＋an，所以2(a－4)＝an－2，所以2(an＋1－2)(an＋1＋2

2、)＝an－2，①所以an＋1－2与an－2同号．又因为a1＝4，即a1－2>0，所以an>2.8分又Sn＝a1＋a2＋…＋an≥a1＋(n－1)×2＝2n＋2.所以Sn－2n≥2.10分由①可得＝<，因此an－2≤(a1－2)×第一步　找关系：分析数列的递推式，把握数列的项之间的关系；第二步　巧变形：根据所证式子的特点，对递推式灵活变形或适当放缩；第三步　凑结论：观察变形后的式子和欲证结论的联系，凑出最后结果.3n－1，即an≤2＋2×n－1，12分所以Sn＝a1＋a2＋…＋an≤2n＋2＝2n＋<2n＋.综上可得，2≤Sn－2n<.15分评分细则　(1

3、)证出an－an＋1与an－1－an同号给3分．(2)证出an＋1－2与an－2同号给2分．(3)证出Sn－2n≥2给2分．跟踪演练5　(2018·温州高考适应性测试)已知正项数列{an}满足an＋1＝－2an－1，且an＋10，解得an>1或an<－7(舍去)，所以a1>1.(2)证明　方法一　要证明an＋1

4、3(an＋7)>0，因为an>1，上式显然成立，故an＋11，所以>2，上式显然成立，故an＋1