高考数学专题四数列第二讲数列的通项与求和学案理.doc

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1、第二讲　数列的通项与求和考点一　求数列的通项公式数列通项公式的求法(1)公式法：由an＝求通项公式．(2)累加法：由形如an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)的递推关系求通项公式时，常用累加法．(3)累乘法：由形如＝f(n)(f(n)是可以求积的)的递推关系求通项公式时，常用累乘法．(4)构造法：由形如“an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)”的递推关系求通项公式时，可用迭代法或构造等比数列法．角度1：公式法求数列通项[解析]　解法一：由Sn＝2an＋1，得a1＝2a1＋1，所以a1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，得an＝2a

2、n－1，∴{an}是首项为－1，公比为2的等比数列．∴S615＝＝＝－63.解法二：由Sn＝2an＋1，得S1＝2S1＋1，所以S1＝－1，当n≥2时，由Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即Sn＝2Sn－1－1，∴Sn－1＝2(Sn－1－1)，又S1－1＝－2，∴{Sn－1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以Sn－1＝－2×2n－1＝－2n，所以Sn＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.[答案]　－63角度2：累加法、累乘法求数列通项[解析]　因为an＋1－1＝an＋2n，所以当n≥2时，an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2(n－1)－1，an－

3、2－an－3＝2(n－2)－1，…a2－a1＝2×2－1，将以上各式相加，得an－a1＝(2n－1)＋[2(n－1)－1]＋[2(n－2)－1]＋…＋(2×2－1)＝[2n＋2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×2]－(n－1)＝－n＋1＝(n－1)(n＋2)－n＋1＝n2－1.又因为a1＝2，所以an＝n2－1＋a1＝n2＋1(n≥2)．当n＝1时，a1＝2适合上式．故an＝n2＋1(n∈N*)．[答案]　an＝n2＋1角度3：构造法求数列通项[解析]　在递推公式an＋1＝2an＋3×2n的两边同时除以2n＋1，得＝＋，所以数列是等差数列，其首项为＝1，公差为，所以＝1＋(n－

4、1)×＝n－，所以an＝(3n－1)·2n－1.[答案]　an＝(3n－1)·2n－1[探究追问]　若本例中的“an＋1＝2an＋3×2n”改为“an＋1＝2an＋3×5n”，其他条件不变，则数列{an}的通项公式为________．15[解析]　解法一：在递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，得＝×＋，①令＝bn，则①式变为bn＋1＝bn＋，即bn＋1－1＝(bn－1)，又因为b1－1＝－1＝－，所以数列{bn－1}是等比数列，其首项为－，公比为，所以bn－1＝×n－1，即bn＝1－×n－1，所以＝1－×n－1＝1－，故an＝5n－3×2n－1.解法二：设

5、an＋1＋k·5n＋1＝2(an＋k×5n)，则an＋1＝2an－3k×5n，与题中递推公式比较得k＝－1，即an＋1－5n＋1＝2(an－5n)，所以数列{an－5n}是首项为a1－5＝－3，公比为2的等比数列，则an－5n＝－3×2n－1，故an＝5n－3×2n－1.[答案]　an＝5n－3×2n－1求数列通项公式的两种策略(1)已知Sn与an的递推关系求通项常用两个思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.(2)已知an与an＋1的递推关系式求通项，通常结合关系式的特征采

6、用累加、累乘、构造等方法．[对点训练]1．[角度1](2018·安徽合肥一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2018＝(　　)A．22018－1B．32018－6C.2018－D.2018－[解析]　∵数列{an}的前n项和为Sn,3Sn＝2an－3n，∴a1＝S1＝(2a1－3)，解得a1＝－3.15Sn＝(2an－3n)①，当n≥2时，Sn－1＝(2an－1－3n＋3)②，①－②，得an＝an－an－1－1，∴an＝－2an－1－3，∴＝－2，∵a1＋1＝－2，∴{an＋1}是以－2为首项，－2为公比的等比数列，∴an＋1＝(－2)n，∴an

7、＝(－2)n－1，∴a2018＝(－2)2018－1＝22018－1.故选A.[答案]　A2．[角度2](2017·东北三校联考)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.[解析]　[答案]　3．[角度3]已知数列{an}的前n项和是Sn，且满足Sn＋an＝2n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．[解析]　因为Sn＋an＝2n＋1，所以当n＝1时，a1＋a1＝2＋1，解得a1＝.当n≥2时，Sn－1＋an－1＝2