大学物理 第一章 矢量分析.ppt

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1、第一章矢量分析1本章内容1.1矢量代数1.2三种常用的正交曲线坐标系1.3标量场的梯度1.4矢量场的通量与散度1.5矢量场的环流和旋度1.6无旋场与无散场1.7拉普拉斯运算与格林定理1.8亥姆霍兹定理21.标量和矢量矢量的单位矢量：标量：一个只用大小描述的物理量。1.1矢量代数矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示注意：单位矢量不一定是常矢量。矢量的几何表示常矢量：大小和方向均不变的矢量。3矢量用坐标分量表示zxy4（1）矢量的加减法两矢量的加减在几何上

2、是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算在直角坐标系中两矢量的加法和减法：5（2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）两矢量的标量积也称为点积(本书称为标积)。定义一个矢量在另一矢量上的投影与另一矢量模的乘积，结果为标量。AθB6（4）矢量的矢积（叉积）写成行列式形式为亦称叉积，结果仍为一个矢量，用矢量C表示，C的大小为A和B组成的平行四边形的面积，方向垂直与矢量A和B构成的平面且A、B和C三者符合右手螺旋法则。7（5）矢量的混合运算8三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交

3、点来确定。1.2三种常用的正交曲线坐标系在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。910直角坐标系xyzdxdydxezdzeydxdydzdydzexdLo1112圆柱坐标系xyzpdφdrezdzerdydzdzdzdzeφdrpdφφpdφpdφodL1314球坐标系xyzrdθereθdreφφdφdrrsinθdφrsinθdφrsinθdφrdθrθrdθdrrsin

4、θdφθodL154.坐标单位矢量之间的关系161.3标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场17标量场的等值面等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量

5、场的等值面互不相交。等值面的特点：意义:形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。18方向导数表示场沿某方向的空间变化率。19202.方向导数意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？21梯度的表达式：意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向22标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度的性质：梯度运算的基本公式：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面

6、（或切平面）23解(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为例1.3.1设一标量函数(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空间标量场。试求：(1)该函数在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。(2)求该函数沿单位矢量方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。24表征其方向的单位矢量(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为25而该点的梯度值为261.4矢量场的通量与散度1.矢量线意义：形象直观地描述了矢量场的

7、空间分布状态。矢量线方程：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。272.矢量场的通量问题：如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。通量的概念如果曲面S是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是28通过闭合曲面有净的矢量线穿出有净的矢量线进入进入与穿出闭合曲面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义29为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与

8、矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：称为矢量场的散度。散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。3031直角坐标系下散度表达式的推导由此可知，穿出前、后两