大学物理矢量分析

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1、第一章矢量分析1.1、矢量的基本运算(1.2学时)1.2、矢量的通量和散度（3.4学时）1.3、矢量的环量和旋度（5.6学时）1.4、标量的方向导数和梯度（7.8学时）返回第1、2学时1.1矢量的基本运算1.1.1标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（Scalar）和矢量(Vector)。一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。实际上，所有实数都是标量。一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。例如，矢量A可以表示成A=aA其中，A是矢量A的大小;a代表矢量A的方

2、向，a=A/A其大小等于1。返回一个大小为零的矢量称为空矢（NullVector）或零矢（ZeroVector），一个大小为1的矢量称为单位矢量（UnitVector）。在直角坐标系中，用单位矢量ax、ay、az表征矢量分别沿x、y、z轴分量的方向。空间的一点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定，如图1-1所示。从原点指向点P的矢量r称为位置矢量(PositionVector)，它在直角坐标系中表示为r=axX+ayY+azZ图1-1直角坐标系中一点的投影X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。任一矢量A在三维正交坐标系中都

3、可以给出其三个分量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三个分量分别是Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量ax、ay、az可以将矢量A表示成：A=axAx+ayAy+azAz矢量A的大小为A：A=(A2x+A2y+A2z)1/21.1.2矢量的加法和减法矢量相加的平行四边形法则，矢量的加法的坐标分量是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的结果仍是矢量1.1.3矢量的乘积矢量的乘积包括标量积和矢量积。1）标量积任意两个矢量A与B的标量积(ScalarProduct)是一个标量，它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积，如图1-2所示，记为A·B=ABcosθ图1-2标量

4、积例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：ax·ay=ay·az=ax·az=0ax·ax=ay·ay=az·az=1任意两矢量的标量积，用矢量的三个分量表示为A·B=AxBx+AyBy+AzBz标量积服从交换律和分配律，即A·B=B·AA·(B+C)=A·B+A·C2）矢量积任意两个矢量A与B的矢量积（VectorProduct）是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢量A与B组成的平面，如图1-3所示，记为C=A×B=anABsinθan=aA×aB（右手螺旋）图1-3矢量积的图示及右手螺旋(a)矢量积(b)右手

5、螺旋矢量积又称为叉积(CrossProduct)，如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即A×B=-B×AA×(B+C)=A×B+A×C直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：ax×ay=az,ay×az=ax,az×ax=ayax×ax=ay×ay=az×az=0在直角坐标系中，矢量的叉积还可以表示为=ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)矢量函数的导数与积分矢量函数一般是空间坐标的函数，有时它也是时间的函数。在我们

6、以后研究的有关内容中必将涉及到矢量函数随空间坐标和时间的变化率问题，既对上述变量的导数问题矢量函数的导数与积分矢量函数对空间的偏导数仍是一个矢量，它的分量等于原矢量函数各分量对该坐标的偏导数。这一结论同样矢用于矢量函数对时间求导数。矢量函数的积分包括不定积分和定积分两种，它们和一般函数的积分在形式上类似，所以一般函数积分的基本法则对矢量函数积分也适用。矢量场矢量场的矢量线矢量场中任意一点P处的矢量可以用一个矢性函数A=A(P)来表示。当选定了直角坐标系后，它就可以写成如下形式：A=A(x,y,z)设Ax,Ay,Az为矢性函数A在直角坐标系中的三个坐标分量，且

7、假定它们都具有一阶连续偏导数，则A又可以表示为A=axAx(x,y,z)+ayAy(x,y,z)+azAz(x,y,z)所谓矢量线是这样一些曲线：在曲线上的每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上（如图1-4所示），像静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等，都是矢量线的例子。图1-4矢量线图设P为矢量线上任一点，其矢径为r，则根据矢量线的定义，必有A×dr=0在直角坐标系中，矢径r的表达式为r=axx+ayy+azz矢量场的矢量线满足的微分方程为第3、4学时1.2矢量的通量和散度1.2.1矢量场的通量在矢量场A中取一个面元dS及与该面元垂直的单位矢量n

8、（外法向矢量，如图所示），则面元矢量表示为：dS=n