第一章 矢量分析.ppt

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1、第一章矢量分析标量场和矢量场标量场的梯度矢量场的通量与散度矢量场的环量与旋度亥姆霍兹定理常用的矢量恒等式下页上页返回三种常用的正交坐标系1.1标量场和矢量场1、场的表示场矢量A(r)=exAx+eyAy+ezAzxyzAR=r-r’rr’AzAxAy图1.1.1矢量场的表示电场E(r)=exEx+eyEy+ezEz下页上页返回标量与矢量标量：只有大小，没有方向的物理量（温度，高度等）矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，电、磁场强度）矢量的表示方式注：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如E。教材上符号即为印刷体。位置矢量:r=exx+eyy+ezz相对位置矢量:R

2、=ex(x-x’)+ey(y-y’)+ez(z-z’)下页上页返回gbacoscoscosAzyxeeee++==A单位矢量:人们在书写时常写成:即:xyzAR=r-r’rr’AzAxAy图1.1.1矢量场的表示矢量的运算说明：矢量间不存在除法运算。下页上页返回按物理量的性质标量场物理量为标量（温度场,电位场）矢量场物理量为矢量（电场、磁场）按物理量变化特性静态场物理量不随时间的变化而变化时变场（动态场）物理量随时间的变化而变化2、场的分类下页上页返回标量场f(r)=常数（如温度、密度、电位、电压等）3、场的全微分dA(r)=exdAx+eydAy+ezdAz4、

3、场图形象描绘场分布的工具--场线标量场--等值线(面).其方程为下页上页返回矢量场--矢量线其方程为三维场图1.1.3矢量线在直角坐标下:图1.1.2等值线Pno下页上页返回1、直角坐标系（x，y，z）1.2三种常用的正交坐标系三者成正交右螺旋关系下页上页返回单位矢量：图1.2.1直角坐标2、圆柱坐标系（r、j、z）下页上页返回zoxyrzjerejez图1.2.2圆柱坐标Pzer三者成正交右螺旋关系单位矢量：圆柱坐标与直角坐标间的关系：下页上页返回zqjxyoereqejr图1.2.3球坐标3、球坐标系（r、q、j）下页上页返回三者成正交右螺旋关系单位矢量：球坐

4、标与直角坐标间的关系：下页上页返回1.3矢量场的散度与高斯散度定理若，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质。矢量A沿有向曲面S的面积分1、矢量的通量下页上页返回P图1.3.1矢量场的通量>0(有正源)<0(有负源)=0(无源)图1.3.2矢量场的源对于静电场：，若f〉0，说明q〉0，电通量由S面向外扩散，f<0,电通量向S面内收集，由此可说明电力线从正电荷出发，终止于负电荷。对于磁场：，说明S面内无源，磁力线是闭合曲线。下页上页返回2、矢量的散度如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P时,通量与体积之比的极限存在定义为矢量A的散度，即直角

5、坐标：下页上页返回散度代表矢量场的通量源的分布特性。在矢量场中，若•A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处•A=0，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；•A=0(无源）•A=0(负源)•A=0(正源)散度的物理意义下页上页返回3、高斯公式(散度定理)该公式表明了区域V中场A与边界S上的场A之间的关系。矢量函数的面积分与体积分的互换。图1.3.3散度定理由于是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对体积分后，为穿出闭合面S的通量高斯定理下页上页返回1.4矢量场的旋度与斯托克斯定理1、矢量的环流水

6、流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源例：流速场图1.4.2流速场图1.4.1环量的计算该环量表示绕线旋转趋势的大小。矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分环流下页上页返回2、旋度(1)环流密度(2)旋度旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。它与环量密度的关系为P过点P作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S点P时,存在极限环流密度旋度下页上页返回IHdlrotHdS例：一无限长直导线载有电流I，在导线周围产生磁场H（方向如红色环所示）若任取一环路l(蓝

7、色环所示)，则：由此可知当rotH与dS方向相同时，即蓝色环与红色环法线方向相同时，环流密度取得最大值。下页上页返回在直角坐标系下(3)旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J称为旋度源(或涡旋源)；若矢量场处处A=0，称之为无旋场。下页上页返回A是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为:在电磁场理论中，Gauss公式和Stockes公式是两个非常重要的公式。矢量函数的线积分与面积

8、分的互换。