第一章矢量 分析

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1、1矢量分析1.在球面坐标系中，当与无关时，拉普拉斯方程的通解为：（）。2.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的（），这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，它们都是空间坐标的连续函数。3.矢量场在闭合面的通量定义为，它是一个标量；矢量场的（）也是一个标量，定义为。4.矢量场在闭合路径的环流定义为，它是一个标量；矢量场的旋度是一个（），它定义为。5.标量场u（r）中，（）的定义为，其中n为变化最快的方向上的单位矢量。6.矢量分析中重要的恒等式有任一标量的梯度的旋度恒为（）。任一矢量的旋度的散度恒为（）。7.算符▽是一个矢量算符，在直角坐标内，，所

2、以是个（），而是个（），是个（）。8.亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从它的散度和旋度开始着手，（）方程和（）方程组成了矢量场的基本微分方程。9.（）坐标、（）坐标和球坐标是电磁理论中常用的坐标10.标量：（）。如电压U、电荷量Q、电流I、面积S等。11.矢量：（）。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。12.标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量（）地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。13.矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量（）地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如

3、流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。14.旋度为零的矢量场叫做（）15.标量函数的梯度是（），如静电场16．无旋场的（）不能处处为零17.散度为零的矢量场叫做（）18.矢量的旋度是（），如恒定磁场19．无散场的（）不能处处为零20．一般场：既有（），又有（）21．任一标量的梯度的旋度恒为（）22．任一矢量的旋度的散度恒为（）。23．给定三个矢量和：求：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)在上的分量：(6)；(7)；(8)和。24．三角形的三个顶点为(0，1，－2)、(4，1，－3)和(6，2，5)。(1)判断是否为一直角三角形。(2)求三角形的面积。25．求(

4、－3，1，4)点到P(2，－2，3)点的距离矢量及的方向。26．给定两矢量和，求在上的分量。27．如果给定一未知矢量与已知矢量的矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设为一矢量，，而，和已知，试求。28．在圆柱坐标中，一点的位置由定出，求该点在(1)直角坐标中；(2)球坐标中的坐标。29．用球坐标表示的场，(1)求在直角坐标系中点(－3，4，5)处的和；(2)求与矢量构成的夹角。30．球坐标中两个点()和()定出两个位置矢量和。证明和间夹角的余弦为提示：，在直角坐标中计算。31．一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：的值。32．在由r=5,z=0和z=4围成的圆柱形区域

5、，对矢量验证散度定理。33．求(1)矢量的散度；(2)求对中心在原点的一个单位立方体的积分；(3)求对此立方体表面的积分，验证散度定理。34．计算矢量对一个球心在原点，半径为a的球表面的积分，并求对球体积的部分。35．求矢量沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求对此回路所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。36．求矢量沿圆周的线积分，再计算对此圆面积的积分。37．证明：（1），（2），（3），其中为一常矢量。38．一径向矢量场用，表示，如果，那么函数会有什么特点呢？39．给定矢量函数，试：（1）沿抛物线；（2）沿连接该

6、两点的直线分别计算从点到的线积分的值，这个是保守场吗？40．求标量函数的梯度及再一个指定方向的方向导数。此方向由单位矢量定出；求（2，3，1）点的导数值。41．试采用与推导式（1，3，8）相似的方法计算圆柱坐标下的计算式。42．方程给出一椭球族。求椭球表面上任意一点的单位法向矢量。43．现有三个矢量场问：（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以用一个矢量的旋度表示？（2）求出这些矢量的源分布。44．利用直角坐标证明：45．证明：46．利用直角坐标证明：47．利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及，试证明之。48．求数量场φ=(x+y)2-

7、z通过点M(1,0,1)的等值面方程。49．求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程50．求数量场在点M(1,1,2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。51．设标量函数r是动点M(x,y,z)的矢量r=xex+yey+zez的模，即，证明：52．求r在M(1，0，1)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数53．已知位于原点处的点电荷q在点M(x,y,z)处产生的电位为，其中矢径r为r=xex+yey+zey，且已知电场强度与电位的关系是E=-▽φ，求电场强度E。54．已知矢量场r=xex+yey+zez，求由内向外穿过