第一章 矢量分析陈俊.ppt

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1、1.1矢量分析与场论基础1.4标量场的梯度1.2矢量场的通量与散度1.3矢量场的环量与旋度第一章矢量分析VectorAnalysis研究宏观电磁场与电磁波之前，我们先介绍分析矢量场和标量场的数学工具，矢量分析。本章要求掌握矢量场的计算，熟练掌握在常用的几种坐标系中通量与散度，环量与旋度的计算。标量：只有大小，没有方向的物理量（温度，高度等）矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，电、磁场强度）矢量的表示方式注：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如。教材上符号即为印刷体。矢量可表示为：其中为其模值，表征矢量的大小；为其单位矢量，表征矢量的方向；1.1矢量分析与场论基础1.标量

2、与矢量矢量的运算则：说明：矢量间不存在除法运算。场是一个标量或一个矢量的位置函数，即每一时刻每个位置该物理量都有一个确定的值，则称在该空间中确定了该物理量的场。例如，在直角坐标下：标量场物理量为标量矢量场物理量为矢量如温度场、电位场、高度场等；如流速场、电场、涡流场等。2.矢量场与标量场2、常用坐标系直角坐标系单位矢量：位置矢量：基本变量：圆柱坐标系单位矢量：位置矢量：基本变量：球面坐标系单位矢量：位置矢量：基本变量：坐标变换圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系通量：矢量E沿某一有向曲面S的面积分称为矢量E通过该有向曲面S的通量

3、，以标量表示，即1.2矢量场的通量与散度通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为负。所以，前述的源称为正源，而洞称为负源。>0(有正源)<0(有负源)=0(无源)由物理得知，真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量q与真空介电常数0之比，即，可见，当闭合面中存在正电荷

4、时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。散度：当闭合面S向某点无限收缩时，矢量A通过该闭合面S的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度，以divA表示，即式中div是英文字母divergence的缩写，V为闭合面S包围的体积。上式表明，散度是一个标量。散度物理意义可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。(无源）(正源)(负源)因此散度可用算符（哈密顿

5、算符）表示直角坐标系中散度可表示为球面坐标系下：柱坐标系下：由散度定义高斯定理的证明该公式表明了矢量场的散度在体积V内的积分等于矢量场在限定该体积的边界面S上的积分（通量）。对于有限体积V，可将其进行分割，对每一小体积元有高斯定理或环量：矢量场A沿一条有向曲线l的线积分称为矢量场A沿该曲线的环量，以表示，即1.3矢量场的环量与旋度可见，若在闭合有向曲线l上，矢量场A的方向处处与线元dl的方向保持一致，则环量>0；若处处相反，则<0。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。由物理学得知，真空中磁感应强度B沿任一闭合

6、有向曲线l的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度I与真空磁导率0的乘积。即式中电流I的正方向与dl的方向构成右旋关系。由此可见，环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。旋度：旋度是一个矢量。若以符号rotA表示矢量A的旋度，则其方向是使矢量A具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即式中rot是英文字母rotation的缩写，en为最大环量强度的方向上的单位矢量，S为闭合曲线l包围的面积。上式表明，矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大

7、环量。直角坐标系中旋度可用矩阵表示为（柱坐标系以及球坐标系下旋度见书附录）或用算符表示为应该注意，无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。斯托克斯定理同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域S中的场和包围区域S的闭合曲线l上的场之间的关系。因此