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1、第三节函数的奇偶性与周期性1.奇函数、偶函数的定义与性质偶函数奇函数定义对于函数f(x)的定义域内的任意一个xf(-x)=_____f(-x)=______性质图象关于____对称关于_____对称定义域关于_____对称单调性在关于原点对称的两个区间上有_____的单调性有_____的单调性图象与原点的关系若奇函数f(x)在原点有意义则f(0)=__f(x)-f(x)y轴原点原点相反相同02.周期性(1)周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：①T≠0;②____________对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中
2、存在一个___________，那么这个___________就叫做它的最小正周期．(3)周期不唯一：若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期，则nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期.f(x+T)=f(x)最小的正数最小的正数【拓展提升】判断函数周期性的三个常用结论若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：(1)f(x+a)=-f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数,2
3、a
4、是它的一个周期.(2)f(x+a)=(a≠0),则函数f(x)必为周期函数，2
5、a
6、是它的一个周期.(3)f(x+a)=则函数f(x)必为周期函数，2
7、a
8、是它的一个周期.3.已知定
9、义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为()(A)-1(B)0(C)1(D)2【解析】选B.∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(8)=f(0).又函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(8)=f(0)=0,故选B.考向3函数的周期性及其应用【典例3】(1)(2012·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x＜-1时，f(x)=-(x+2)2;当-1≤x＜3时，f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=()(A)335(B)338(C)1678(D)2012(
10、2)(2012·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1，1］上，其中a,b∈R,若则a+3b的值为______.【思路点拨】(1)先根据周期性求f(1)+f(2)+…+f(6),再根据周期性求f(1)+f(2)+…+f(2012).(2)利用周期性可知f(-1)=f(1),列方程组求解.【解析】(1)选B.∵f(x+6)=f(x),∴T=6.∵当-3≤x＜-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x＜3时，f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)
11、=0,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12)=…=f(2005)+f(2006)+…+f(2010)=1,∴f(1)+f(2)+…+f(2010)=而f(2011)+f(2012)=f(1)+f(2)=3,∴f(1)+f(2)+…+f(2012)=335+3=338.(2)因为f(x)的周期为2,所以即又因为所以∴3a+2b=-2①,又因为f(-1)=f(1),所以即b=-2a②,将②代入①，得a=2,b=-4,∴a+3b=2+3×(-4)=-10.答案：-10【变式训练】设f(x)是定义在R上的奇函
12、数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x).当x∈［0,2］时，f(x)=2x-x2.(1)求证：f(x)是周期函数.(2)当x∈［2,4］时，求f(x)的解析式.(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013).【解析】(1)∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数.(2)当x∈［-2,0］时，-x∈［0,2］，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.又f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2,∴f(x)=x2+2x.又当x∈［2,4］时，x-4∈［-2,0］,
13、∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得x∈［2,4］时，f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0，∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)=f(0)+f(1)=0+1=1.
