角平分线的性质定理.ppt

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1、沪科版八年级上册数学第15章轴对称图形与等腰三角形15.4角的平分线(第2课时角平分线定理及逆定理)安徽省滁州市第九中学叶金山（qq:1585683455）15.4角的平分线复习提问1、什么叫角平分线？一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。oBCA12复习提问2、点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。OPAB在半透明的纸上画∠BAC，对折，使角的两条边完全重合，然后用直尺画出折痕OD.从上面试验可以看出，角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在的直线.BCAD情景引入不利用作图工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么

2、办法？探究:如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？用尺规作图的方法作出角的平分线已知：如图，∠AOB。求作：∠AOB的平分线。OABCMN画法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．BA.CED画法：１．以C为圆心，适当长为半径作弧，交ＡB于D,E．２．分别以D，E为圆心．大于1/2DE的长为半径作弧．两弧交于F．３．作直线FＣ．直线FＣ．即为所求．FAD过直线外一点作这条直线的垂线BE.kc画法：１．任意取一点K，使K和C在ＡB

3、两旁．3．分别以D，E为圆心．大于1/2DE的长为半径作弧．两弧交于F．4．作直线FＣ。即为所求．2．以C为圆心，CK长为半径作弧，交ＡB于D,E．F角平分线的性质已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。求证：PD=PE。12ABDEPOC定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)。证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)，∴∠1=∠2(角平分线的定义)。∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义)。在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO(已证)，∠1＝∠2

4、(已证)，OP＝OP(公共边)，∴△PDO≌△PEO(AAS)。12ABDEPOC已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．OCB1A2PDE证明：PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，在Rt△PDO与Rt△PEO中∴∠PDO=∠PEO=Rt∠PD=PE（已知）｛OP=OP（公共边）∴Rt△PDO≌△PDO∴∠1=∠2即点P在∠AOB的平分线上反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上．小结：角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、

5、线段相等的新途径．例1:已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P在∠BAC的角平分线上ABCMNPDEF证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）．同理，PE=PF．∴PD=PF．∴AP平分∠BAC已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F。求证：点F在∠DAE的平分线上。CDABFEOQP变式CDABPE例2.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点P。求证：（1）点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等；（

6、2）点P在∠DAE的平分线上。又∵点P在∠CBD的角平分线∴PM=PK（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）同理PN=PK∴PM=PK=PN即，点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等（2）∵PM=PN（已证）∴点P在∠DAE的平分线上（到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）(已知)MNKCDABPE证明：（1）过点P分别作AB，AE，BC所在直线的垂线，垂足分别是点M，N，K.例3.要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路和铁路距离相等，且离公路和铁路的交叉处500米，该集贸市场应建在何处？（比例尺1：20000）ＳＯ公路铁路2.5cm解：设要截取的长度为Ｘm,则：解得：

7、Ｘ＝0.0250.025m＝2.5cm则点Ａ即为所求的点Ａ例4.如图，已知△ABC的外角∠DAB和∠ABE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DCE的平分线上．ABCFED证明：过点F作FG⊥AD于G，FH⊥BE于H，FM⊥AB于M，∵点F在∠DAB的平分线上，FG⊥AD，FM⊥AB，∴FG=FM．又∵点F在∠ABE的平分线上，FH⊥BE，FM⊥AB，∴FM=FH，∴FG=FH，∴点F在∠DAE的平分线上．FABCEDGHM∵如图，A