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1、角平分线的性质第一课时不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？AOBC活动1再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？（对折）情境问题1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?活动2情境问题ADBCE如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？2、证明：在△ACD和△ACB中AD=AB（已知）DC=BC（已知）CA=CA（公共边）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角
2、形的对应边相等）∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）ADBCE根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）OABCE探究新知活动3NOMCENM２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．如何用尺规作角的平分线？AＢＯＭＮＣ作法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．３．作射线OC．则射线ＯＣ即为所求．OABNMC证明:连结MC,NC由作法知:在△OMC和△ONC中OM=ONMC=NCOC=OC∵△OMC≌△ONC(SSS)∴∠AOC=∠BOC即:OC是∠ＡＯＢ的角平分线
3、.1〉平分平角∠AOB2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？ABOCD探究角平分线的性质(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活动5(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.证明：在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO∠1=∠2OP=OP∴△PDO≌△PEO(AAS)∴PD=PEPAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE探究
4、角平分线的性质∵OC平分∠AOB∴∠1=∠2∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．∵点P是∠AOB平分线上的一点又PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）AOBEDP证明线段相等有角的平分线，有垂直距离应用定理的前提条件是：定理的作用：如图所示OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?OABEDCPPD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等直思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距
5、离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺1：20000）ＳＯ公路铁路如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EBACDEBF实践应用(2)分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF≌Rt△EDB.现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件DC=DE(因为角的平分线的性质)再用HL证明.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，求证：CF=EB。证明
6、：∵AD平分∠CABDE⊥AB，∠C＝90°（已知）∴CD＝DE(角平分线的性质)在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,CD=DE（已证）DF=DB（已知）∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)∴CF=EB（全等三角形对应边相等）已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.ABEDCF证明：∵AD平分∠CABDE⊥AB，DF⊥AC∴DE＝DF(角平分线的性质)在Ｒt△BDE和Rt△CDF中,DE=DF（已证）BD=CD（已知）∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)∴EB=CF（全等
7、三角形对应边相等）小结:1：画一个已知角的角平分线；(注意作图痕迹和几何语言的表达)及画一条已知直线的垂线；2：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．3：角平分线的性质的应用BOAC·DPE1.如图，OC是∠AOB的平分线，∵∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB思考：由PD=PE能不能得到PD⊥OA，PE⊥OB？1、如图，连接角平分仪的边BD、AC，那么AC与BD有什么关系？为什么?提高与拓展2.如图,在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。EDCBA例1已知：在等腰Rt△A
8、BC中，AC＝BC∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E。求证：BD＋DE＝AC变式已知AB＝15cm,求△DBE的周长EDC
