初等数学研究课件.ppt

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1、1.1数系的扩充“数系”的历史扩展与逻辑扩展过程不同“数学史上这一系列事件的发生顺序是耐人寻味的，数学家们并不是按照先整数、分数，然后无理数、复数、代数学和微积分的顺序，而是按照相反的顺序与它们打交道的．看来，他们进行逻辑化的工作是极不情愿的．”M.Kline《数学——确定性的丧失》数学教育研究表明，人们认识负数比起认识无理数要容易些．但是，历史有独特的自身发展逻辑．事实上，当人们还普遍怀疑负整数也是一种数时，人们就已经在研究正的有理数与无理数，甚至已经开始使用复数了．“数系”的历史扩展途径“数系”的逻辑扩展途径新数产生的原因数是抽象思维的产物．真正与实体直接相关的、用日常生活经验可以获得的

2、数，只有自然数．其他的数，都需要进行理性思考才能获得．数的概念产生于对实物的计量．在漫长的史前时代，人类已经认识了抽象的自然数．随着人类文明的进步，数的概念从实体的测量发展为抽象的存在，如从正方形对角线的测量得到脱离经验的“无理数”．接着是代数运算的需要，因减法、开方运算的需要产生了负数、无理数和复数．到了近代，“数”不再只是单个的量的表示，人们为了追求运算的无矛盾性，接受了理想的“数”，包括复数、四元数、八元数等等．“新数”为何最初不被承认？不能够测量并非非有不可不能够理解逻辑基础不清楚“新数”为何最终获得承认？“因为在数学中和在其他场合一样，成功是最高法庭，任何人都得服从它的裁决.”D.

3、Hilbert《论无限》算法合理性是“新数”获得承认的主要原因算术到代数的演进加速了数系的形成广泛的应用促进广泛的承认“理想数”的思想1.2数系的构造理论1.2.1自然数的定义自然数严格的抽象定义是由peano公理给出的，它刻画了自然数的本质属性，并导出了有关自然数的所有运算和性质。Peano公理陈述如下：（1）0是自然数；（2）每个自然数都有一个后继，a的后继记为a+；（3）没有自然数的后继为0；（4）不同的自然数有不同的后继，即若a+=b+，则a=b；（5）（归纳公理）如果0有某个属性，而且若自然数a有该属性则a+也有该属性，那么所有自然数都有该属性。例设m∈N,m≠0,那么，必有n∈N

4、使得n+=m证明设集合A由所有这样的自然数组成：它是某个自然数的后继.设S={0}∪A.显然,0∈S.若x∈S,由A的定义有x+∈A,因而x+∈S.由归纳公理知,S=N.因此，若m∈N,m≠0,就必有m∈A,即存在n∈N,使得n+=m.该例题表明：每个不为0的自然数必为某个自然数的后继。加法定义1自然数集N上的二元运算“+”称为加法，满足条件：(1)对任何a∈N，a+0=a(2)对任何a,b∈Na+b+=(a+b)+例证明2+3=5证明：2+0=22+1=2+0+=(2+0)+=2+=32+2=2+1+=(2+1)+=3+=42+3=2+2+=(2+2)+=4+=5例对任何a∈N，证明0+a

5、=a+0.证明：利用数学归纳法证明当a=0时，结论显然成立。假使a=n时，结论成立，即0+n=n+0，则当a=n+时0+n+=(0+n)+=(n+0)+=n+=n++0结论亦成立。乘法定义2自然数集N上的二元运算“•”称为乘法，满足条件：(1)对任何a∈N，a•0=0(2)对任何a,b∈Na•b+=(a•b)+a例证明a·3=a+a+a证明:a·0=0a·1=a·0+=(a·0)+a=0+a=a+0=aa·2=a·1+=(a·1)+a=a+aa·3=a·2+=(a·2)+a=a+a+a运算律定理2对任何a,b,c∈N有①加法交换律a+b=b+a②加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)③加法

6、相消律若a+b=a+c,则b=c.若b+a=c+a,则b=c.④乘法交换律a·b=b·a⑤乘法结合律(a·b)·c=a·(b·c)⑥乘法相消律若a≠0,a·b=a·c,则b=c.若a≠0,b·a=c·a,则b=c.⑦乘法对加法分配律a·(b+c)=a·b+a·c(a+b)·c=a·c+b·c代数结构定理3自然数集关于加法和乘法都是一个可交换的半群，0是其零元，1是其单位元。0的负元是0，1的逆元是1，除此之外其他自然数都没有负元和逆元。减法加法的相消律保证我们可以定义加法的逆运算——减法。定义3设a，b∈N，若存在x∈N，使x+b=a，则称x=a-b.根据定义，有①(a-b)+b=a;②除零

7、元之外其他自然数都没有负元，这说明在整数集上减法不具有封闭性。例证明不存在x∈N，使得x+2=1成立.证明：反证法假使存在x∈N,满足x+2=1,则(x+1)+=0+x+1=0(x+0)+=0x+=0这与0不是任何自然数的后继相矛盾。除法乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运算——除法。定义4设a，b∈N,b≠0,若存在x∈N，使x·b=a，则称x=.根据定义，有除单位元之外其他自然数都没有逆元，这说明在自然