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1、量子力学复习提纲第一章绪论1.德布罗意关系,(1)(2)2.微观粒子的波粒二象性.3.电子被伏电压加速,则电子的德布罗意波长为(3)第二章波函数和薛定谔方程1.波函数的统计解释:波函数在空间某一点的强度和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子的波是几率波.其中代表几率密度.2.态叠加原理:如果和是体系的可能状态,那么它们的线性叠加,也是体系的一个可能状态.3.薛定谔方程和定态薛定谔方程薛定谔方程(4)定态薛定谔方程10(5)其中(6)为哈密顿算符,又称为能量算符,4.波函数的标准条件:有限性,连续性(包括及其一阶导数)和单值性.5.波函数的归一化,(9)6.求解一维
2、薛定谔方程的几个例子.一维无限深势阱及其变种,一维线性谐振子;势垒贯穿.第三章量子力学中的力学量1.坐标算符,动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法则;2.本征值方程,本征值,本征函数的概念(10)3.厄密算符的定义,性质及与力学量的关系.(11)实数性:厄密算符的本征值是实数.正交性:厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交.完全性:厄密算符的本征函数和组成完全系,即任一函数可以按和展开为级数:10(12)展开系数:,(13).(14)是在态中测量力学量得到的几率,是在态中测量力学量,得到测量结果在到范围内的几率.4.和算符的本征值方程,本征值和本征
3、函数.,本征函数.5.氢原子的哈密顿算符及其本征值,本征函数的数学结构,(15)主量子数n,角量子数l和磁量子数m的取值范围,简并态的概念.6.氢原子的能级公式和能级的简并度.(16)不考虑电子的自旋是度简并的;考虑电子的自旋是度简并的.7.给定电子波函数的表达式,根据电子在点周围的10体积元内的几率(17)计算电子几率的径向分布和角分布.计算在半径到的球壳内找到电子的几率.8.给定态函数,计算力学量平均值,平均值的计算公式.(18)注意(11)式对波函数所在的空间作积分.9.算符的对易关系及测不准关系.(1)如果一组算符相互对易,则这些算符所表示的力学量同时具有
4、确定值(即对应的本征值),这些算符有组成完全系的共同的本征函数.例如:氢原子的哈密顿算符,角动量平方算符和角动量算符相互对易,则(i)它们有共同的本征函数,(ii)在态中,它们同时具有确定值:,,.(2)测不准关系:如果算符和不对易,则一般来说它们不能同时有确定值.设则算符和的均方偏差满足:(19)其中10,(a)利用测不准关系估计氢原子的基态能量,线性谐振子的零点能等.(b)给定态函数,计算两个力学量和的均方偏差的乘积(20)第四章态和力学量的表象1.对表象的理解(1)状态:态矢量(2)表象:力学量的本征函数构成无限维希耳伯特空间(坐标系)的基矢量(4)将态矢量
5、按照上述基矢量展开:是态矢量在表象中沿各基矢量的分量.(5)是在所描写的态中,测量力学量得到结果为的几率.2.算符在Q表象中的表示(i)算符在Q表象中是一个矩阵,称为矩阵元(ii)算符在自身表象中是一个对角矩阵,其对角矩阵元为该算符对应的本征值.3.量子力学公式的矩阵表述(1)平均值公式:(21)(2)本征值方程à久期方程10à(1)薛定谔方程的矩阵形式(22)4.么正变换的概念(1)么正变换是两个表象基矢量之间的变换矩阵.(2)么正变换的矩阵元由两个表象的基矢量共同确定,(3)态矢量由A表象变换到B表象的公式(23)(4)力学量由A表象变换到B表象的公式:(24
6、)5.么正变换的性质(i)么正变换不改变算符的本征值;(ii)么正变换不改变矩阵F的迹;(iii)么正变换不改变力学量的平均值.第四章微扰理论(I)求解非简并定态微扰问题10(1)确定微扰的哈密顿算符.,及与对应的零级近似能量和零级近似波函数;(2)计算能量的一级修正:(25)(3)计算波函数的一级修正:(26)(4)计算能量的二级修正:(27)(II)求解非简并定态微扰问题(只要求能量的一级修正)求解步骤(1)确定微扰的哈密顿算符.(2)确定微扰算符的矩阵元:(28)(3)求解久期方程得到能量的一级修正(29)(III)变分法不作要求(IV)含时微扰论(1)基本
7、步骤设的本征函数为为已知:10(30)将按照的定态波函数展开:(31)展开系数的表达式:(32)其中(33)是微扰矩阵元,(34)为体系由能级跃迁到能级的玻尔频率.在t时刻发现体系处于态的几率是,体系在微扰的作用下,由初态跃迁到终态的几率为(35)(2)用于周期微扰得到(36)由(36)式,讨论并理解发生跃迁的条件是或(37)10(i)表明只有外界的微扰含有频率时,体系才能从态跃迁到态,这时体系吸收和发射的能量是;(ii)跃迁是一个共振现象.(3)能量时间的测不准关系的含义(38)(4)了解原子的跃迁几率和三个爱因斯坦系数:,和及相互关系.(5)了解用含时微扰理论
8、计算爱因斯
