量子力学复习提纲

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1、量子力学复习讲义一波函数一、波函数的意义及性质在量子力学理论体系中，体系的状态用波函数来描述，一般记为，其物理意义是玻恩的几率解释：在时刻，在附近体积元内发现粒子（体系）的几率为。对波函数，要认识一下几个问题：1、关于波函数的归一化问题（1）几率描述中实质问题是相对几率，即要求任意两点的几率比值相同即可，因此和描述的是同一个几率波。这导致波函数总有一个不确定的常数因子。（2）根据（1），我们一般要求波函数归一化，即选择常数，使不过这样选择的常数，还有一个不确定的相因子，我们把满足这个条件的常数，叫归一化常数。

2、（3）由于我们关注的是相对几率，因此在某些情形下，我们也使用一些非归一化的波函数，如自由粒子平面波函数粒子的位置本征函数2、波函数的标准化条件（1）既然波函数是几率波，因此要求波函数模方为有限，是必然的。即有限值。但实际上，只要波函数满足有限就可以了。例如对粒子位置本征函数就是这样。而这种放宽的条件会导致波函数在某点的值变为无穷大。这也是允许的。（2）波函数的连续性要根据定态薛定谔方程来确定。因此，如果是的连续函数，则和必为的连续函数。90量子力学复习讲义如果，其中是常数，且有限，则波函数及其一阶导数连续。证

3、明：将薛定谔方程在邻域积分，得所以，连续，从而也连续。但是，当时，波函数的一阶导数就不一定连续了。如一维无限深势阱中的波函数的导数在边界就不连续。（3）波函数的几率解释要求必须为单值得，但这不意味着波函数就一定是单值得。二、波函数的时间演化规律1、自由粒子的初值问题根据薛定谔方程，波函数随时间演化的规律为由于方程只含有对时间的一阶导数，因此，只要给定了初始时刻体系的状态，则以后任意时刻的状态原则上就完全确定了。但在一般情况下，这个初值问题并不容易求解。只有自由粒子，其解比较容易。描述自由粒子的一般状态的波函数

4、，具有波包的形式，可以表示为平面波的叠加式中，因此在时，有所以从而，得这样体系的初始状态就完全确定了以后任何时刻的状态。90量子力学复习讲义更一般地，取初始时刻为，则其中这里称为传播子（，利用传播子，体系在时刻的状态可由的状态给出。传播子的物理意义为：如果在时刻粒子位于点，则在时刻在点找到由（）传来的粒子的几率幅就是。而积分式表示在找到粒子的几率幅是时刻空间各点粒子的几率波幅传到点后的相干叠加。三、一般波函数的叠加设体系的定态薛定谔方程为假设体系无简并，则体系的含时波函数可以表示为对任意的波函数，可以得到两边

5、乘以，并积分，得如果初始时刻体系的状态已知为，则90量子力学复习讲义利用薛定谔方程，得所以有，这样我们有其中展开系数由初始条件确定举例1：（2005燕山大学入学试题，2006南开大学试题，2000中国科学院和科技大学试题）一个质量为的粒子在一维无限深势阱中运动，时刻的初态波函数为求(1)在后来某一时刻的波函数是什么？（2）体系在和时的平均能量是多少？（3）在时，在势阱左半部发现粒子的概率是多少？解：（1）首先将波函数归一化，因为所以归一化常数为，即波函数是归一化的。这样我们得到对任意时刻，波函数为（2）粒子的

6、平均能量为90量子力学复习讲义（3）在时，在势阱左半部发现粒子的概率是=举例2、（1996大连理工试题）量子体系的薛定谔方程（1）的一般解为（2）其中代表变量的集合。（1）试写出（2）式中的所必需满足的本征方程；（2）（2）式中的（3）若体系的某一力学量,其算符满足则（2）式中的可视为的共同本征函数，属于本征值。试确定在任一时刻取可能值的几率。解：（1）（2）(3)在任一时刻体系的状态为，则其中90量子力学复习讲义这样取可能值的几率为。举例3、（2003河北师大试题）有一物理体系，它的态空间是三维的，选择基矢

7、为。定义力学量(均为实数)设时的状态为。求（1）若在时测量体系能量，可得哪些结果，相应几率多大？计算。（2）若在时测量，可能值及相应几率多大？（3）写出任意时刻的态矢量。（4）计算。解：（1）因为，，所以在时测量体系能量时，可能的结果和相应几率为，几率为，几率为（2）先求的本征值和本征矢，设，则久期方程为即，解之得当时，有任意，这样我们可以选择得90量子力学复习讲义当时，可得从而这样在时，有所以在时测量，可能的结果和相应几率为几率为（3）利用定态薛定谔方程本征函数的展开式，得任意时刻体系的态矢量为所以得这是必

8、然的。90量子力学复习讲义举例4、（2000北京师大试题）设时，质量为，频率为的谐振子处于状态，其中是实常数，，是厄米多项式，求（1）归一化常数；（2）求时刻体系的状态；（3）求时刻位置平均值；（4）求谐振子能量取值及相应几率。解：（1）对谐振子，其哈密顿算符的本征函数为所以，我们有归一化条件,得即归一化的波函数为（2）由于体系是定态，所以任意时刻的波函数为（3）时刻位置平均值90量子力学复习讲义（