概率论与数理统计复习资料.doc

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1、.《概率论与数理统计》第一章随机事件与概率基本概念:随机试验E----指试验可在相同条件下重复进行,试验的结果具有多种可能性(每次试验有且仅有一个结果出现,且事先知道试验可能出现的一切结果,但不能预知每次试验的确切结果样本点w---随机试验E的每一个可能出现的结果样本空间W----随机试验E的样本点的全体随机事件-----由样本空间中的若干个样本点组成的集合,即随机事件是样本空间的一个子集必然事件---每次试验中必定发生的事件。不可能事件Æ--每次试验中一定不发生的事件。事件之间的关系:⑧A,B相互独立P(AB)=P(A)P(B)例1事件A,B互

2、为对立事件等价于( D )A、A,B互不相容B、A,B相互独立C、A∪B=ΩD、A,B构成对样本空间的一个剖分例2设P(A)=0,B为任一事件,则(C)A、A=ÆB、AÌBC、A与B相互独立D、A与B互不相容例3.设甲乙两人朝同一目标射击,设A=“甲命中目标且乙未命中目标”,则:=(D)A)甲未命中目标且乙命中目标B)甲乙都没命中目标C)甲未命中目标D)甲未命中目标或乙命中目标事件之间的运算:事件的交AB或A∩B事件的并A∪B事件的差A-B注意:A-B=A=A-AB=(A∪B)-BA1,A2,…,An构成W的一个完备事件组(或分斥)¾¾指A1,A

3、2,…,An两两互不相容,且Ai=W例1设事件A、B满足A∩=Æ,由此推导不出(D)A、AÌBB、ÉC、A∪B=BD、A∩B=B例2若事件B与A满足B–A=B,则一定有(B)A、A=ÆB、AB=ÆC、A=ÆD、B=运算法则:交换律A∪B=B∪AA∩B=B∩A结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)Word资料.对偶律=∩=∪文氏图事件与集合论的对应关系表:记号概率论集合论W样本空间,必然事件全集Æ不可能事件空集w基本事件元素A事件全集中的一个子

4、集A的对立事件A的补集AÌB事件A发生导致事件B发生A是B的子集A=B事件A与事件B相等A与B相等A∪B事件A与事件B至少有一个发生A与B的并集AB事件A与事件B同时发生A与B的交集A-B事件A发生但事件B不发生A与B的差集AB=Æ事件A与事件B互不相容(互斥)A与B没有相同的元素古典概型:古典概型的前提是W={w1,w2,w3,…,wn,},n为有限正整数,且每个样本点wi出现的可能性相等。P(A)=例1设3个球任意投到四个杯中去,问杯中球的个数最多为1个的事件A1,最多为2个的事件A2的概率。[解]:每个球有4种放入法,3个球共有43种放入法

5、,所以

6、W

7、=43=64。(1)当杯中球的个数最多为1个时,相当于四个杯中取3个杯子,每个杯子恰有一个球,所以

8、A1

9、=C3!=24;则P(A1)=24/64=3/8.(2)当杯中球的个数最多为2个时,相当于四个杯中有1个杯子恰有2个球(CC),另有一个杯子恰有1个球(CC),所以

10、A2

11、=CCCC=36;则P(A2)=36/64=9/16例2从1,2,…,9,这九个数中任取三个数,求:(1)三数之和为10的概率p1;(2)三数之积为21的倍数的概率p2。[解]:p1==,p2==古典概型基本性质:(1)非负性,对于任一个事件A,有P(A)³0;

12、(2)规范性:P(W)=1或P(Æ)=0;(3)有限可加性:对两两互斥事件A1,A2,…,An有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)概率的公理化定义:要求函数P(A)满足以下公理:(1)非负性,有P(A)³0;(2)规范性:P(W)=1;(3)可列可加性:对两两互斥事件A1,A2,…,An有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)Word资料.概率公式:求逆公式P()=1-P(A)加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-

13、P(AC)-P(BC)+P(ABC)求差公式:P(A-B)=P(A)-P(AB);当AÉB时,有P(A-B)=P(A)-P(B)注意:A-B=A=A-AB=(A∪B)-B条件概率公式:P(A

14、B)=;(P(B)>0)P(A

15、B)表示事件B发生的条件下,事件A发生的概率。乘法公式:P(AB)=P(A)P(B

16、A)=P(B)P(A

17、B)(其中P(A)>0,P(B)>0)一般有P(ABC)=P(A)P(B

18、A)P(C

19、AB)(其中P(AB)>0)全概率公式:P(A)=P(A

20、Bi)P(Bi)其中B1,B2,…,Bn构成W的一个分斥。贝叶斯公式:P(Ak

21、

22、B)==(由果溯因)例:在一个肿瘤治疗中心,有大量可能患肺癌的可疑病人,这些病人中吸烟的占45%。据以往记录,吸烟的可疑病人中有90%

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