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1、平面向量中的最值范围（偏难带答案）1、设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且⊥，则(－)·(－)的最大值是( )A．1＋ B.1－C.－1D．1解答：如图，作出，使得＋＝，(－)·(－)＝2－·－·＋·＝1－(＋)·＝1－·，由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，·取得最小值，最小值为－，此时(－)·(－)取得最大值，最大值为1＋，故选A.2、如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为( )A.B.C.D．3
2、解答：如图，以D为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC.由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，则D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，)．设E(0，y)(0≤y≤)，则＝(－1，y)，＝，∴·＝＋y2－y＝2＋，∴当y＝时，·有最小值.选A3、已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则
3、a－b
4、的最小值是( )A.－1B.＋1C．2D．2－3解答∵b2－4e·b＋3＝0，∴(b－2e)2＝1，∴
5、b－2e
6、＝1.如图所示，把a，b，e的
7、起点作为公共点O，以O为原点，向量e所在直线为x轴，则b的终点在以点(2,0)为圆心，半径为1的圆上，
8、a－b
9、就是线段AB的长度．要求
10、AB
11、的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M到直线OA第4页（共4页）的距离减去圆的半径长，因此
12、a－b
13、的最小值为－1.4、如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为( )A．3B.2C．6D．9解析：选D 由平面向量数量积的几何意义知，·等于与在方向上的投影之积，所以(·)max＝·＝·(＋)＝
14、2＋2＋·＝9.5、已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )A．－2B.－C．－D．－15解答：选B 如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－x,－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，为－.6、若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭
15、圆上的任意一点，求·的最大值．由题意，得F(－1,0)，设P(x0，y0)，则有＋＝1，解得y＝3，因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2，因为－2≤x0≤2，故当x0＝2时，·取得最大值6.7、在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为( )A．3 B.2 C. D．2第4页（共4页）选A 以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐
16、标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝.因为P在圆C上，所以P.又＝(1,0)，＝(0,2)，＝λ＋μ＝(λ，2μ)，所以λ＋μ＝2＋cosθ＋sinθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tanφ＝2)，当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.8、如图，△ABC是边长为2的正三角形，P是以C为圆心，半径为1的圆上任意一点，则·的取值范围是( )A．[1,13]B.(1,13)C．(4,
17、10)D．[4,10]选A 取AB的中点D，连接CD，CP，则＋＝2，所以·＝(－)·(－)＝·－2·＋1＝(2)2cos－2×3×1×cos〈，〉＋1＝7－6cos〈，〉，所以当cos〈，〉＝1时，·取得最小值为1；当cos〈，〉＝－1时，·取得最大值为13，因此·的取值范围是[1,13]．9、已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，I是△ABC的内心，P是△IBC内部(不含边界)的动点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )A.B.C.D．(2,3)解：选A 以B为原点，BA，BC所在直线分别为
18、x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，A(3,0)，C(0,4)．设△ABC的内切圆的半径为r，因为I是△ABC的内心，所以(5＋3＋4)×r＝4×3，解得r＝1，所以I(1,1)．设P(x，y)，因为点P在△IBC内部(不含边界)，所以0＜x＜1.因为＝(－3,0)，＝(
