巧构图形应用勾股定理.doc

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1、巧构图形应用勾股定理构造图形，运用几何图形的直观性和数形结合的思想方法，应用勾股定理可以解决一些十分棘手的代数问题。 一、证明不等式 例1　试比较－与（x＞y＞0）的大小，并说明你的理由。解：因为（）2=（）2+（）2，联想到勾股定理，以、为边作如图1所示的直角三角形，则其斜边长为。由三角形两边之差小于第三边，－＜。　　　　　　　　　　　　   例2　已知a、b、c均为非负数，求证：   ++≥（a+b+c）   分析：由题设条件联想到正方形对角线及勾股定理。证明：如图2，以（a+b+c）为边长作正方形，并在两

2、个邻边上按a、b、c大小将正方形分割成不同的矩形。　　　　　　　　　　　　　　   由勾股定理可求得：   AE=，EF=，FC=   AC=（a+b+c）   因为AE+EF+FC≥AC所以++≥（a+b+c）。 二、求特殊三角形面积   例3　若a、b均为正数，且、、是一个三角形的三边长。那么这个三角形的面积等于         。   分析：直接用三角形面积公式求面积较为复杂，构造图形求面积则更简便。解：如图3，分别以2 a、2b为边长作矩形ABCD。取AB、BC中点E、F，连接EF、DF、DE。　　　　

3、　　　　　　　　　   由勾股定理，可求得：   EF=，FD=，ED=   故△EFD即为题设三角形。   S△EFD=S矩形ABCD－S△AED－S△BEF－S△CFD        =4ab－ab－ab－ab=ab。 三、求线段和的最小值  例4　已知正数a、b满足a+b=2。求u=+的最小值。分析：由a+b=2，u=+=u=+，构造合适图形可将其转化为求两条线段和的最小值问题。解：由a+b=2，u=+=+构造如图4的图形，取AC=2，BD=1，CD=2，作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，设

4、PC=a，则PD=2－a，AP=，BP=。此时A′B=AP+BP为最小值。　　　　　　　　　　　　　　又作A′B′⊥BD于B′，则A′B′=CD=2，BB′=2+1=3Rt△A′BB′中，A′B==。即u的最小值为13。练习题：1.对于正数a、b、c、d，如果a+b=c+d，试比较+与（a+b）的大小。（提示：a+b=c+d为边构造正方形，再分割成a、b、c、d为边的矩形，用勾股定理证明）2.设a、b、c、d为正实数，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一个三角形的三边长分别为、、，求此三角形的面积。（提示：构造如图

5、5的图形求解）　　　　　　　　　　　　　3.求代数式+的最小值。（提示：将原式变形为+，仿例4，取CD=12。）