巧构几何图形 证明代数问题

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1、巧构几何图形证明代数问题——兼谈构造法习题已知a,b,c,d为正数，a^2+b^2=c^2+d^2，ac=bd，求证a=d，b=c.分析注意到条件a^2+b^2=c^2+d^2，如果把a，b；c，d分别看成两个直角三角形的直角边，那么a^2+b^2，c^2+d^2分别表示这两个直角三角形的斜边的平方。故可构造如下图形1。ac=bd，即BC*AD=AB*CDBC/AB=CD/AD又B=D=90Rt⊿ABC相似于Rt⊿ADC但为公共斜边，故Rt⊿ABCRt⊿ADCAB=AD,BC=CD,即b=c,a=d.评注把正数与线段的长联系起来，给代数等式附以几何意义，从而利用

2、图形的特点巧妙地解决了上述习题。其证法十分简捷，独具风格，耐人寻味！其高明之处就在于选择了恰当的图形！这种思考方法的关键是把数和形结合起来以互相利用！对代数等式可以这样做，对不等式也可以。应用【例1】已知a，b是两个不相等的正实数，求证（a+b）/2>[证明]以a+b为边长作正方形，然后过a,b的连接点作正方形各边的垂线（如图2），于是大正方形的面积为（a+b)^2,四个矩形的面积都是ab,这样得（a+b）^2>4abab>0a+b>2即（a+b)/2>【例2】已知0<θ

3、故θ可如图作出。BC+AC>ABsinθ+cosθ>1(三角形两边之和大于第三边)又⊿ABC的面积=(1/2)BC*AC≤(1/2)AB*CO=(1/4)AB^2(三角形面积不大于一边与这边上中线积的一半)2BC*AC≤AB^2又BC^2+AC^2≤AB^2(BC+AC)^2≤2AB^2，BC+AC≤AB,即sinθ+cosθ【例3】设a,b为小于1的正数，求证[证明]如图4作边长为1的正方形ABCD,分别在AB,AD上取AE=a,AG=b(a、b<1),并过E,G分别作AD,AB的平行线，分别交DC,BC于F，H,设EF,GH的交点为O，则OA=,OB=,OC

4、=,OD=,OA+OCAC,OB+ODBD.OA+OB+OC+ODAC+BD,即【例4】设a/b=c/d,且a,b,c,d均为正数，求证(a+b)/(c+d)=[证明]不妨设a≥c，作直角⊿ABC,使C=90(如图5)，BC=a，AC=b.在BC上取点D,使BD=c;过D作DEBC交AB于E，故BC/AC=BD/ED又a/b=c/d,所以ED=d.在BC直线上取点F,G,使CF=AC,DG=ED,连EG,AF,易知EG//AF,故BF/BG=BA/BE即(a+b)/(c+d)=【例5】设a>0，b>0，2c>a+d.求证c^2>ab且c-

5、，作半圆O，直径AB=2c,在AB上顺次取AC=a,CD=b(2c>a+b)以AD为直径作半圆，过C作CEAD交圆于E,则两圆相切，且CEab.又CO^2+CE^2=OE^2，(a-c)^2+ab

6、C,C

7、圆相切。如图9，设切点为P,P’.Rt⊿ABP,Rt⊿ABP’的三条边的长度分别为3,4,5.AP,AP’的斜率是(3/4)即当m=(3/4)时原方程组有唯一解。拓广用几何法证代数题构思精巧，利于锻炼思维能力。代数等式或不等式反映出来的是线段间等量与不等量关系，最常见的有以下一些基本图形：代数结构几何定理图形a^2+b^2=c^2勾股定理（图10）a/b=c/c相似三角形ab=bc平行线，相交弦（图12）割线（图13）等ab+cd=ef托勒米定理(图14)a>b斜边<直角边（图15）直径>弦（图16）X=射影定理（图17）切割线定理（图18）上面谈到的造图证代数

8、题的方法，是构造法解题的