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1、平均变化率与导数定义一：问题提出问题1气球膨胀率问题：我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？气球的体积(单位:)与半径(单位:)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么___________.⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了___________.气球的平均膨胀率为___________.⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了___________.气球的平均膨胀率为___________.可
2、以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?___________.问题2高台跳水问题：hto在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?在这段时间里，=_________________在这段时间里，=_________________探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，
3、并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，所以___________.虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．结论：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态.②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；-6-二平均变化率概念:1．上述问题中的
4、变化率可用式子表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2．若设,(这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)3．则平均变化率为___________.思考：观察函数f(x)的图象(1)平均变化率表示什么?(2)计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均变化率.注意：①Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；②x2=x1+Δx；③Δf=Δy=y2-y1；三．典例分析例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点
5、,则．解：例2．求在附近的平均变化率。解：四．有效训练1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为．2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.-6-1.1.2导数的概念一：问题提出问题：我们把物体在某一时刻的速度称为________。一般地，若物体的运动规律为，则物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当_________时平均速
6、度的极限，即=___________________二：导数的概念函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:我们称它为函数在处的______，记作或________，即________________________三：求导数的步骤：f(x1)f(x1)f(x1)f(x1)f(x1)（即___变化率）即“一差；二比；三极限”。三．典例分析求在点x=1处的导数.附注：①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；与上一节的平均变化率不同-6-②定义的变化形式：=；=；=；，当时，，所以四．
7、有效训练1、已知函数，下列说法错误的是（）A、叫函数增量B、叫函数在[]上的平均变化率C、在点处的导数记为D、在点处的导数记为2.若质点A按规律运动，则在秒的瞬时速度为（）A、6B、18C、54D、813、设函数可导，则=（）A、B、C、不存在D、以上都不对平均变化率与导数的定义-6-1、函数在区间上的平均变化率是（）A、4B、2C、D、2、经过函数图象上两点A、B的直线的斜率（）为_______;函数在区间[1，1.5]上的平均变化率为_________________3、如果质点M按规律运动
8、，则在时间[2，2.1]中相应的平均速度等于______4、函数在处的导数是______________5.已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率（1）[1，1.01](2)[0.9,1]6.已知一次函数在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。7.已知函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+，）），求8.将半径为R的球加热，若球的半径增加，则球的体积增量9.求函数在附近的平均变化率，取都为，哪一点附近的平均变化率最大？-6-10、已知自由下落
