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1、数值计算误差例1按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效数字的近似数:187.9325,0.03785551,8.000033,2.7182818。按定义，上述各数具有5位有效数字的近似数分别是187.93,0.037856,8.0000,2.7183注意兀=8.000033的5位有效数字的近似数是8.0000而不是8,因为8只有1位有效数字。例2重力常数g,gu0.980x10%/『；gu0.980x10_2Z:m/s1,种写法如果以mls2为若以km/s2为它们都具有3位有效数字,因为按第一g-9.80
2、按第二种写法0.009801.1xlO-ix10-他们虽然写法不同，
3、但都具有3位有效数字。至于绝对误差限，由于单位不同结果也不同，£：=10~5km/s29而相对误差都是£r=0.005/9.80=0.000005/0.00980o例3要使的近似值的相对误差限小于0.1%,要取儿位有效数字？设取〃位有效数字，由定理1.1,/<_LXiq-^1o由于何=44•…，「_2仙知q=4，故只要取〃=4,就有<<0.125x10'3<10-3=0.1%即只要对何的近似值取4位有效数字，其相对误差就小于0.1%。此吋由开方表得V20^4.472-例4设y=兀"，求y的相对误差与兀的相对误差之间的关系。解由式(1・9)得ev(y)=〃(Inxn)=nd(
4、Inx)=ner(x)所以兀"的相对误差是兀的相对误差的〃倍，特别地，的相对误差是X的相对误差的一半。例5设x>0,x的相对误差为5,求lnx的绝对误差。解由于§=£(兀)="⑴,即e(x)=xd，所以'x幺(InX)hd(Inx)==er(x)=3X*例6已测得某场地长为/的值为I=100m,宽d的值为d=80/72,已知l-Tl<0.2m,d-d^l<0.1m，试求面积S=Id的绝对误差与相对误差。解因…6s,ds+1S=ld、』=d工=1,由（2）他a/dd“小（黑其屮（竺）*=er=80m,（-^-）*=厂=110加，而dldd£（厂）=0・2%£（dj=0.1
5、m,于是绝对误差限相对误差限E(J£IZI勞喘41%£（门u80x（0.2）+110x（0.1）=27拉格朗日多项式例1已给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274用线性插值及拋物线插值计算sin0.3367的值，并估计截断误差。解由题意取x()=0.32,y{}=0.314567,x}=0.34,y}=0.333487,兀2=0.36,旳—0.352274用线性插值计算，取兀()=0.32及兀］=0.34,由公式(2・4)得sin0.3367u厶（0.3367）-+严r•^1*^o0.3367-x=儿—=0.33
6、0365其截断误差由（2・9）得(X-Xo)(%-%!)R⑴
7、晋其屮M2M2maxX08、maxIsinxX09、
10、/n（x）
11、o因f'x）=-sinx,可取=sinxx<0.3335,有17?!（0.3367）1=Isin0.3367-厶（0.3367）<-x0.3335x0.0167x0.00332<0.92xl0~5用抛物插值计算sin0.3367o由公式心⑷得（兀一兀］）（兀一兀2）厶2（兀）=y（）i—（兀0—兀1）（兀0—兀2）*歹（兀_兀0）（兀_兀2）*尹（兀一兀0）（兀一兀1）1（坷一兀0）（兀1一兀2）2（兀2-兀0）（兀2一坷）有sin（
12、0.3367）®L2（0.3367）=0.330374这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明用二次插值精度已相当高了•其截断误差限由（2・9）得
13、7?2（x）
14、<—%!）（%-x2）
15、,6max
16、/17、=cosx0<0.828,于是X018、=
19、sin0.3367-L2(0.3367)
20、<0.178xl0-6例2.1设/(x)=Vx，并己知X2.02」2.2fM1.4142141.4491381.483240试用二次Newton插值多项式N?(兀)计算/(2.15)的近似值，并讨论其误差。解构造均差表如下Xk一阶均差二阶均
21、差2.01.4142142.11.4491380.349242.21.4832400.34102-0.04110利用Newton插值公式(2■⑵有N2(x)=1.414214+0.34924(%-2.0)-0.04110(x-2.0)(x-2.1)取兀=2.15,得“2(2.15)=1.466292。由于/在区间［2.Q2.2］上充分光滑，因此可以利用误差估计公式/⑶(%)=,max/⑶(%)=0.06629o从2.0
