数值分析考试内容

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1、数值计算误差例1按四舍五入原则写出卞列各数具有5位有效数字的近似数:187.9325,0.03785551,8.000033,2.7182818。按定义，上述各数具有5位有效数字的近似数分别是187.93,0.037856,8.0000,2.7183注意兀=8.000033的5位有效数字的近似数是8.0000而不是8,因为8只有1位有效数字。例2重力常数g,如果以m/s2为单位，g^0・980><10%/$2.若以km/s2为单位,_2少g«0.980x10"km/s,它们都具有3位有效数字，I大I为按第一种写法g—9・80卜丄x10一2=丄><10122按第二种写

2、法g-0.00980

3、<

4、xl0-5=

5、x10-2-3'他们虽然写法不同，但都具冇3位冇效数字。金于绝对误差限，由于单位不同结果也不同,e；=-xlO-2m/s2^：=-xl0-5km/s2^而相对误差都是12-2<=0.005/9.80=0.000005/0.00980o例3要使的近似值的相对误差限小于0.1%,要取儿位有效数字？设取〃位有效数字，曲定理1.1,£*<_Lxi0-«+U曲于V20=4.牛…，r~2吗知°]=4，故只要取〃=4,就有<<0.125x10"3<10"3=0.1%即只要对血的近似值取4位有效数字，其相对误差就小于0」％。此时由开方表得V2

6、0^4.472o例4设y=x,求y的和对误差与x的和对误茅z间的关系。解由式(1・9)得er(y)=d(Inxn)=nd(Inx)=ner(x)所以x"的相对误差是X的相对误差的〃倍，特别地，的相对误差是X的相对误差的一半。例5设x>0,x的相对误差为5,求lnx的绝对误差。解由于3=e（兀）=‘即幺（兀）=兀5,所以rxe（lnx）=d（Inx）="兀）=er（%）=6X*例6已测得某场地长为I的值为/=100m,宽d的值为的绝对误差与相对误差。解因$=加，竺=乩色=人由（1・5）知dldd吟卜仆（dsd*=80m,已知l-T<0.2m,d-d^

7、试求面积S=Iddd=0.2®)=0.1加,Mldd丿其中（竺）*=矿=80加,（色）*=厂=110加而dl刑）于是绝对误差限£（小80><（0.2）+110x（0.1）=27何）相对误差限（$乍犁=鸣〜2L=o.31%八丿1/1Id8800拉格朗日多项式例1已给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sinO.36=0.352274用线性插值及拋物线插值计Msin0.3367的值，并估计截断误差。解由题意取%=0.32,儿=0.314567,%]=0.34,=0.333487,勺=0.36,旳—0.352274用线性插值计算，取兀0=0

8、.32及兀]=0.34,曲公式（2・4）得sin0.3367u厶(0.3367)0.3367-x=儿0.3367-xn+”x0-x{-XQ=0.330365其截断误差由(2・9)得m2=MK(x)5寸

9、(x—勺)(兀—坷)

10、/,r(x)

11、o因f'x)=-sinx,可取

12、sinx

13、=sinx}<0.3335,有其中M2=maxXq

14、=

15、sin0.3367-厶(0.3367)<-x0.3335x0.0167x0.00332<0.92x10-5用抛物插值计算sin0.3367o由公式心⑷得(x-XjXx-xJL2(x)二y

16、0!—(%o-旺)(兀0-兀2)*『(兀_兀0)(兀_兀2)*『(兀一兀0)(兀一兀1)1(兀1—Xo)(%!-X2)2(x2-xo)(x2-坷)有sin(0.3367)«L2(0.3367)=0.330374这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明用二次插值精度已相当高了.其截断误差限由(2・9)得7?2(x)<(x-xQ)(x-)(x-x2)，其屮％=max

17、/nx)l=cosx0<0.828,于是X0

18、7?2(0.3367)

19、=

20、sin0.3367-L2(0.3367)

21、<0.178xl0-6例2.1设/(%)=Vx,并己知2.02」2.

22、21.4142141.4491381.483240试用二次Newton插值多项式(兀)计算/(2.15)的近似值，并讨论其误差。解构造均差表如下xkf(^)一阶均差二阶均差2.01.4142142」1.4491380.349242.21.4832400.34102-0.04110利用Newton插值公式(2■⑵有M(兀)=1.414214+0.34924(%-2.0)-0.04110(x-2.0)(x-2.1)取x=2A5,得“2(2.15)=1.466292。由于于在区间［2.0,2.2］上充分光滑，因此可以利用误差估计公式(2-11),注意到f(3)(x)=