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《在向量的教学中，还应注意揭示向量代数性质的几何意义.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、向量代数运算的几何意义向量H2004年开始就已进入高考，新一轮的课改也早已经拉开了序幕，从近儿年的高考屮我们不难看出平而向量的基木运算问题所占的重要位置。选择、填空题考杏主要集屮在三角形的形状、判断点所处的位置、判断动点轨迹、利用机和意义解题等方面；在解答题屮通常与三角函数、解析几何综合，但考杏的都是比较浅显的形式或简单的运算，解答题的核心一般不涉及向量知识。从教学的过程屮来看,学生处理这些题时不会灵活运用向量的基木运算来解题，尤其是几何运算与代数运算的相互结合。代数运算屮包括加法、减法的运算法则、实数
2、与向量乘法法则、向量数量积运算法则。在代数运算屮教材给出了三角形法则，平行四边形法则，多边形法则。利用这些法则，可以很好地解决向量屮的几何运算问题，从中去体会数形结合的数学思想。在向量的教学屮，我觉得应注意揭示向量代数性质的几何意义，向量代数性质的几何意义对于运用向量刻曲几何对象是非常重要的，做如下小小的总结。1、向量的加法，减法运算屮可以均放在平行四边形里来研究，利用三角形、平行四边形的儿何图形的性质来解决问题。向量数乘运算入[的几何意义是与；平行的向量，也可以表示一点和一个方向向量2所确定的直线，两
3、个不共线向量7与E的线性组合Xa+Yb表示向量2与b所确定的平面。这就把向量的线性运算与直线、平面联系起来了。如，例1、0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+^(AB+AOAe[0,+oo),则P的轨迹一淀通过AABC的A外心B垂心C内心D重心例2、0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+AABRAe[0,+oo则P的轨迹一定通过AABC的A夕卜心B垂心C内心D重心例3、0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足O
4、P=OA+兄(ABACABlsinB),几co,十9)，则P的轨迹一定通过AABC的ACsinC外心B垂心C内心D重心这三个题看似类似，但在解题过稈屮发现学生不会将代数运算形式转化为几何意义的运用，要知道向量既是“代数”的又是“几何”的。我觉得要学生体会到一般常用作法：看到起点相同的作差一般采用三角形法则终点相接并指向被减向星，作和则采用平行四边形法则找起点相同的对角线所在的和向量，数乘向量则有两个向量共线，进而点共线。数形结合灵活运用平面儿何图形的特征是解决这类题的关键。这三个例题一开始均用丽-6入=
5、忑，但后面的解法有所差别。例1屮AB+AC=AD=2AO,O为B、C屮点如图1,/.AP=2AAOz.P、O三点共线，AO为三角形ABC的一条屮线，故P过三条中线的交点即重心，故选D。例2屮首先要认识互表示单位向量，故厘巫表示与忌疋方1-1RM向相同的两个单位向量相加，如图2,结果是一个菱形的对角线上的向fl：AO,而AO是ZBAC的角平分线，利用菱形的特征，可知P过角平分线的交点即内心，故例2选C。例3屮过A作AD丄BC于I)，
6、AB
7、sinBACsinCAD,•••存在实数“使得2(AB
8、AClAB
9、lsinBACsinCKAB+AC),Z后解法同例4、O是正AABC内的一点，且满足OA+2OB+3OC=0,则AAOC的面积与zXBOC的面积Z比为()A、一B、21行D盲学生看到此题不知如何处理向量的系数23。实际上,不妨将：3拆成1+2,这样，原式可以化作(OA+0C)+2(0B+0C)=0,•••(OA+OC)=-2(OB+OC),又利用平行四边形法则得2OD=-4OE,C其屮D,E分别为A，C与B，C的中点，二OD=—2OE,二。为DE的三等分点如图4,过O做OG丄BC于G,过O做OF丄AC于
10、F,易证AODF-AOEGOG:OF二1：2故选B2、向最的数最积的运算。a的几何意义是向最a的模与向量E在向量a方向上的投影的乘积。特别地，设e是单位向量，则D表示向量；在单位向量2上的投影的长度。例4、如图，在三角形ABC中，AD丄AB,BC=V3BD,AD=1,则疋•疋二()A、2心B、丰C、晋D、巧解：依数量积的儿何意义，ACAD表示AD的长度与AC在AD±的投影的积，故过C作AD的垂线交AD的延长线于E,如图5,易由平面几何知识得AABDsACED,DCDEBD~ADBC=V3BD,AD=1可
11、求DE=V3-1又AC在AD±的投影为
12、AE
13、=
14、AD
15、+
16、DE
17、=1+V3-1=V3运算过程非常快捷!再者，a-b=0的几何意义是向量a与E垂直，这就把向最的数最积运算与向最的位置关系联系起来，从而，也就把向量的数量积运算与真线的位置关系以及点到育线的距离联系起来了。这也是考试经久不衰的一大考点。如2008年浙江的第9题：例5、向量己知a与&是平面内的两个互相垂I［的单位向量，若c满足(a-c)-(b-c)=0,则c的最大值是()A、1B
