高中数学第三章推理与证明3.1归纳与类比剖析用归纳推理求解一类题素材.doc

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1、剖析用归纳推理求解一类题归纳是一种“由特殊到一般”，“由个别到普遍”，“由表象到实质”的推理，是人类探索规律，认识世界的一种重要思想方法．有一类以平面几何为背景，n条直线（或圆等）相交，推测交点个数或分成的区域个数，成为近年高考热点．它综合性强，与数列联系紧密，下面结合具体例子剖析求解策略．　例１　平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于一点，若表示这个圆把平面分割的区域数，试求．分析：由题意推测出递推式，再由递推式求出．解：表示个圆把平面分割成的区域数，那么再有一个圆和这n个圆相交，则有2n个交点，这些交点将增加的这个圆分成段弧且每一段

2、弧又将原来的平面区域一分为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n个，即，且．由递推公式得，，，，，将以上个等式累加得．例2　（2005年广东）设平面内有条直线（），其中有且仅有两条直线平行，任意三条直线不过同一点，若用表示这条直线交点的个数，则　　　　，当时，　　　　（用表示）．解：因为表示条直线交点的个数，若再增加一条直线，则这条直线与前条直线都相交，则交点个数增加个，故，且．，．将以上各式累加得．．2评析：这类问题直接求解较复杂，可转化为推测任何相邻两项关系，再用数列知识求解．练习：（黄冈调考题）已知一个三角形内有2004个点，任意一个点都不在其

3、它任何二点的连线上，则这些点（含三角形三个顶点）将该三角形分成不重合的三角形区域有（　　）Ａ．2004个Ｂ．4008个Ｃ．4009个Ｄ．2005个答案：Ｃ．2