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《高中数学第三章推理与证明3.1归纳与类比3.1.2类比推理知识导航素材》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.2类比推理自主整理1.两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为___________.2.类比推理是两类事物___________之间的推理.3.利用类比推理得出的结论___________（填“一定”或“不一定”）正确.4.根据解决问题的需要，可对___________、___________、___________进行类比.5.___________和___________是最常见的___________，___________是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实
2、和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理公式.高手笔记1.类比推理是数学命题来源的另一条途径，也是知识推广的思维过程.学习立体几何常常要类比平面几何，发现和得到一些立体几何的结论.2.归纳推理与类比推理都是合情推理.归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发掘出来.的学习数学时要注意培养自己的观察能力、分析能力、联想能力和创新能力.3.合情推理只是一种猜测，结论不一定正确.名师解惑合情推理的结果不一定正确，但合情推理是科学发现和创造的基础，你如何看待
3、这一问题？剖析:数学真理知识的发现、发掘和推陈出新是在前面知识的基础上，通过对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理得到，合情推理通常是靠猜想与联想等心智活动串联起来.这种心智活动形式能导致人们作出新的判断和预见，能帮助发现数学真理，包括发现新的数学关系结论、新的数学方法及数学命题等等，但它毕竟是一种非逻辑的思维形式，属于“发散思维”范畴，当然并不能用以精确地建立数学命题和理论，最后要证明命题或定理，还需运用严格的逻辑分析与演绎推理，即“收敛思维”.讲练互动【例1】一个等差数列{an}，其中a10=0，则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(1
4、≤n≤19)，一个等比数列{bn}，其中b15=1,类比等差数列{an}有下列结论：___________.分析:在等差数列{an}中，a10=0,已知以a10为等差中项的项和为0，如a9+a11=a8+a12=…=a2+a18=a1+a19=0，而在等比数列{bn}中，b15=1,类似地有b1b29=b2b28=…=b14b16=1,从而类似的总结规律应为各项之积.解:∵在等差数列{an}中，a10=0,∴a1+a19=a2+a18=…=a8+a12=a9+a11=0,即a19-n+an+1=0,a18-n+an+2=0,a17-n+an+3=0,…∴a1+a2+…+a
5、n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+a19-n.∵b15=1,∴b1b29=b2b28=…=b14b16=1,即b29-nbn+1=b28-nbn+2=…=b14b16=1.∴有b1b2…bn=b1b2…b29-n(1≤n≤29,n∈N+).绿色通道6本题考查了等差中项、等比中项和等差数列、等比数列的性质及观察判断、猜想类比的能力.对于等差数列、等比数列有许多类似的性质，可结合定义进行类比.变式训练1.已知等差数列{an}，公差为d,前n项和为Sn，有如下性质：（1）通项an=am+(n-m)d.(2)若m+n=p+q,其中m、n、p、q∈N+,则am+an
6、=ap+aq.(3)若m+n=2p,m、n、p∈N+，则am+an=2ap.(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列.类比得出等比数列的性质.解:等比数列{bn},公比为q,前n项和Sn,有如下性质:(1)通项an=amqn-m.(2)若m+n=p+q,其中m、n、p、q∈N+,则am·an=ap·aq.(3)若m+n=2p,q、m、n∈N+,则am·an=ap2.(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列.【例2】若射线OM、ON上分别存在点M1、M2与N1、N2，则三角形面积之比为·.若不在同一平面内的射线OP、OQ和OR上，分别存在点P1、P2
7、，点Q1、Q2，点R1、R2，则类似的结论是什么？分析:本题已知三角形的面积之比需弄清楚点分得到的结论，然后才能类比得结论扩展到空间的问题.解:∵=，其面积比中有一个共同的角，类似地，连结P1Q1、Q1R1、P1R1、P2Q2、Q2R2、P2R2，得到的是锥体，需研究锥体的体积并找出不变量，两条相交线确定一个面，另一条线不在这个面内就有线面角，而线面角不随点的位置变化而变化，设OP与面QRO所成的角为θ.OP在面ORQ内的射影为OP′，P1、P2的射影分别为P1′、P2′，则=sinθ，且6.∴·.∴类似地有·.绿色通道要准确
