高中数学第三章推理与证明3.1归纳与类比类比题的题型及解法素材

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1、类比题的题型及解法类比题是近几年在数学高考中新出现的题型，它的特点是根据两个对象或两类事物之间存在着一些相同或相似的属性，猜测它们之间可能具有其它一些相同或相似的属性的思维方法.所以试题是以类比思维为轴心，与数学方法、数学思想和数学基础知识相整合，着重考查学生的探究能力、创造能力、推理能力，对考生的能力和素质的要求比较高.由于题意新颖，背景独特，在解答时有一定困难.以下介绍几种高考中的类比题的题型和解法.　　一、特殊向一般类比　　例１（2001年上海高考）已知两个圆：①与②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，即已知命

2、题应成为所推广命题的一个特殊.推广的命题为_____.　　解析：考生对此题的理解会出现两个误区，一是认为命题就是文字叙述，所以就用文字语言来回答，而这是困难的；另一个误区是没有把握住两个圆对称必须要求两个圆的半径相等，且两圆的圆心位置要不同.可设两个圆的方程为：①和②（或，），则由①式减去②式得两圆的对称轴方程．　　二、两个参量向多个参量类比　　例2　（2001年上海春季高考）若记号“”表示两个实数与的算术平均数的运算，即，则两边均含有运算符号“”和“”，且对于任意3个实数都能成立的一个等式可以是　　　　　．　　解析：由于本题是探索性和开放性问题，问题的解决需要经过一定的探索过程，并且答案不

3、惟一.这题要把握住，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“”和“”，则可容易得到．正确的结论还有：，等．　　三、同类之间类比　　１.等差数列与等比数列类比　　例3（2000年上海高考）在等差数列中，若，则有等式成立．类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式　　　　　成立．　　解析：设等差数列的公差为，则，，而，，，，恰好与与与互为相反数，因此有等式成立．2　　在等比数列中类比，设公比为，因为，则，而，恰好与与与是互为倒数，不难得到：．　　2．椭圆与双曲线类比　　例4　（2003年上海春季高考）设分别为椭圆的左右两个焦点．已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于

4、原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值．试对双曲线写出具有类似特征的性质，并加以证明．　　解析：类似的性质为：若是双曲线上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值．　　可设点，则点的坐标为有．又设点，则由，得，把，代入上式，得．同类之间的类比在圆锥曲线中，常常以姐妹题形式出现，这样对学生思维和素质的考查具有很好的功能，而且题型新颖，避免了传统的考法的单调.2