高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换第2课时导学案.docx

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1、第2课时　三角恒等变换的应用1．掌握三角恒等变换的方法．2．会利用三角恒等变换解决三角函数问题．三角恒等变换(1)asinα＋bcosα＝______sin(α＋θ)(ab≠0)，其中tanθ＝____，a和b的符号确定θ所在的象限．仅仅讨论＝±1、±、±的情况．(2)sin2x＝，cos2x＝，sinxcosx＝__________.(3)讨论三角函数的性质时，通常经过三角恒等变换，将三角函数的解析式化为f(x)＝__________的形式来解决．【做一做1－1】sinx－cosx等于(　　)A．sin2xB.sinC.sinD．sin【做一做1－2】函数y＝s

2、in2xcos2x的最小值等于__________．答案：(1)　　(2)sin2x　(3)Asin(ωx＋φ)【做一做1－1】C　原式＝＝sin.【做一做1－2】－　y＝sin4x，则最小值为－.三角恒等变换问题剖析：三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换．三角恒等变形是解决有关三角问题的重要环节，它以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍角公式，和差化积和积化和差公式为基础．在恒等变形中要注意三角函数式中的“角”的特点，即有没有特殊角，有没有与特殊角相关联的角，有没有互余、互补的角，角与角之间有没有和、差、倍、半的关系，什么角需要保留，什么角需要化

3、掉等．在恒等变形中，化简三角函数式是核心，而化简的要求是：尽量减少三角函数式中角的个数(最好只含有相同的角)；尽量减少三角函数式中函数名称的种类(最好只含有同名函数)；在函数名称较多的情况下，最好只保留正弦和余弦；在选择使用三角变换公式时，应根据三角函数式中角的特点选择恰当的公式；在化简过程中，要合理使用代数手段，诸如整式、分式、根式运算以及因式分解．对化简的结果，应该尽量减少项数；尽量减少函数种类和次数；尽量化为整式；对含有特殊角的三角函数要求写出其值来．题型一讨论三角函数的性质【例1】已知函数f(x)＝sin2x＋asinxcosx－cos2x，且f＝1.(1

4、)求常数a的值及f(x)的最小值；(2)当x∈时，求f(x)的单调增区间．分析：(1)利用f＝1求得a，再将函数f(x)的解析式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式后求出最小值；(2)利用(1)求出函数f(x)在R上的单调增区间，再与取交集．反思：解答此类综合题的关键是利用三角函数的和、差、倍角、半角公式化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助于三角函数的图象及性质去研究f(x)的相应性质，解答过程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失误．题型二在实际中的应用【例2】要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使长方形截面面积最

5、大？分析：用三角函数表示长方形的面积，转化为求三角函数式的最大值．反思：本题中，将长方形面积表示为三角函数式，利用三角恒等变换转化为讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最值问题，从而使问题得到简化．这个过程蕴涵了化归思想．题型三易错辨析【例3】当函数y＝sinx＋cosx，x∈R取最大值时，求自变量x的取值集合S.错解：y＝sinx＋cosx＝2＝2＝2sin，则y取最大值2时，有x＋＝＋2kπ(k∈Z)，则x＝＋2kπ(k∈Z)．即S＝.错因分析：令k＝0，则x＝＋2kπ＝，则f＝sin＋cos＝＋＝≠2.其原因是化简函数解析式没有保持恒等变换，错认为cos＝

6、，sin＝.反思：将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)时，每一步要保持恒等变形，否则变形的结果是错误的，如本题．本题中，还可能出现的错误变形为y＝sin.答案：【例1】解：(1)∵f＝1，∴sin2＋asincos－cos2＝1，解得a＝2.∴f(x)＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin.当2x－＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)时，sin有最小值－1，则f(x)的最小值为－.(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，整理得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．又x∈，则0≤x≤.∴f(x)的单调增区间是.【例2】

7、解：如图，设圆心为O，长方形截面面积为S，∠AOB＝α，则AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，S＝(Rsinα)·2(Rcosα)＝2R2sinαcosα＝R2sin2α.当sin2α取最大值，即sin2α＝1时，长方形截面面积最大．故α＝时，长方形截面面积最大，最大截面面积等于R2.【例3】正解：y＝sinx＋cosx＝2＝2＝2sin，则y取最大值2时，有x＋＝＋2kπ(k∈Z)，则x＝＋2kπ(k∈Z)．即S＝.1．函数y＝是(　　)A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数2．函数y＝2sinx＋2cosx的值域是

8、_____