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时间:2020-03-02
《高考数学分类讨论处理含参不等式恒成立结合放缩取点带答案.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、分类讨论处理含参不等式恒成立结合放缩取点(2018•个人原创)已知函数(6)当时,若都有恒成立,求b的取值范围(个人解法)解:依题意,都有恒成立令=且等价于都有恒成立由=易知,<0,在单调递减,>即①当即时,在单调递增都有符合题意②当即时,由在单调递减且又当时,,>又时<0且由零点存在性定理可知,使得+0—递增递减由表可知不是的最大值不符合题意综上所述的取值范围为(2018•四川模拟)已知函数f(x)=ex+lnx.(2)若对任意x∈[1,+∞)恒有f(x)≥e+m(x﹣1),求实数m的取值范围
2、(个人解法)解:依题意,恒成立令且等价于都有恒成立,由易知都有>0,在上单调递增,即①当即时,,在单调递增,符合题意②当即时由在上单调递增且又当时,,又由零点存在性定理可知存在,使得=0当x∈(1,)时,g′(x)<0,当x∈(,+∞)时,g′(x)>0,此时不是的最小值不符合题意综上m的取值范围为(参考解法):令函数g(x)=f(x)﹣e﹣m(x﹣1),即为g(x)≥0对任意x∈[1,+∞)恒成立,且发现g(1)=0,于是g′(x)=+ex﹣m,由(1)知:当m≤e+1时,g′(x)≥0,此时
3、g(x)单调增,于是g(x)≥g(1)=0,成立;若m>e+1,则存在t∈(1,+∞)使得:g′(t)=0,当x∈(1,t)时,g′(x)<0,当x∈(t,+∞)时,g′(x)>0,此时g(x)≥g(t)<0,矛盾.综上,m≤e+1.【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道中档题.本资料分享自千人QQ群323031380高中数学资源大全备用QQ群483122854(2017•新课标Ⅱ)设函数f(x)=(1﹣x2)ex.(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a
4、的取值范围.【解答】(个人解法)解:令由于则题意,都有恒成立等价于,都有恒成立由当时,,,在单调递减,即①当即时,在单调递减,,符合题意②当即时,由在单调递减且又当时,,其中由零点存在性定理可知存在,使得=0当x∈(0,)时,g′(x)>0,当x∈(,+∞)时,g′(x)<0,此时不是的最大值不符合题意综上的取值范围为[1,+∞).本资料分享自千人QQ群323031380高中数学资源大全备用QQ群483122854(参考解法)由题可知f(x)=(1﹣x)(1+x)ex.下面对a的范围进行讨论:①
5、当a≥1时,设函数h(x)=(1﹣x)ex,则h′(x)=﹣xex<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)上单调递减,又因为h(0)=1,所以h(x)≤1,所以f(x)=(1+x)h(x)≤x+1≤ax+1;②当0<a<1时,设函数g(x)=ex﹣x﹣1,则g′(x)=ex﹣1>0(x>0),所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,又g(0)=1﹣0﹣1=0,所以ex≥x+1.因为当0<x<1时f(x)>(1﹣x)(1+x)2,所以(1﹣x)(1+x)2﹣ax﹣1=x(1﹣a﹣x﹣x2),取x0
6、=∈(0,1),则(1﹣x0)(1+x0)2﹣ax0﹣1=0,所以f(x0)>ax0+1,矛盾;③当a≤0时,取x0=∈(0,1),则f(x0)>(1﹣x0)(1+x0)2=1≥ax0+1,矛盾;综上所述,a的取值范围是[1,+∞).【点评】本题考查函数的导数的应用,函数的单调性以及函数的最值的求法,考查转化思想以及计算能力.(2010新课标理数)设函数f(x)=ex﹣1﹣x﹣ax2.(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.(个人解法)解:(2)由且则题意等价于,恒成立由则易知在单调递增
7、∴即①当即时,由则在单调递增∴即∴在单调递增∴,符合题意②当即时,令即解得∴当,∴在单调递减,∴<即∴在递减∴不是的最小值不符合题意综上所述的取值范围为.(参考解法)解:(1)a=0时,f(x)=ex﹣1﹣x,f′(x)=ex﹣1.当x∈(﹣∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在(﹣∞,0)单调减少,在(0,+∞)单调增加(II)f′(x)=ex﹣1﹣2ax由(I)知ex≥1+x,当且仅当x=0时等号成立.故f′(x)≥x﹣2ax=(1﹣2a)x,从而当1
8、﹣2a≥0,即时,f′(x)≥0(x≥0),而f(0)=0,于是当x≥0时,f(x)≥0.由ex>1+x(x≠0)可得e﹣x>1﹣x(x≠0).从而当时,f′(x)<ex﹣1+2a(e﹣x﹣1)=e﹣x(ex﹣1)(ex﹣2a),故当x∈(0,ln2a)时,f'(x)<0,而f(0)=0,于是当x∈(0,ln2a)时,f(x)<0.综合得a的取值范围为.【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题,考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力.(2018•
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