万尔遐老师讲数学——消去法与消去式.ppt

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1、消去法与消去式例话解析几何运算的化简万尔遐老师讲数学1天津市二月测试第18（Ⅱ）题题：设椭圆M：，P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2+(y–2)2=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点）,求的最大值.说1：又是椭圆又是圆，还有向量积求最值.面对大题，要有“渐胜”心理：吞不下要撕几块，撕不动要啃几口，如本题，要“求出最大值”虽然不易，但用三点的坐标表示这个“向量积”实在不难.2解答从设点的坐标可开始解析：如图，设F(x1,y1),E(x2,y2),P(x,y)；说2：就此一“设”、一“则”，2分已经到手，本题的9分就啃去了约四分之一.以下求最大值，而式子中有6个

2、变量，最好消除到只剩一个变量，化为一元函数求最大值.则3续解：又x2=–x1，y2=4–y1，说3：因为点E与点F关于点（0,2）对称，点F的坐标可用点E的坐标来表示。消去法可从消x2、y2开始消去了x2和y2.至此再得2分，9分题目已啃去了约一半.式中还有4个变量，还得消除3个.4说4：又消去3个变量之后，式子化为一元函数，至此，已取得决定性的成果，所求的最值，已经历历在望.续解：……x1、x、y1的消去5二次函数求最值说5：二次函数求最值，是初中生都会的事情.高中生在这里要做的事，是要指出存在的条件：点P在已知椭圆上.至此，本题满分到手。续解：……所求的最大值是11

3、.条件是y=–1.点P的坐标为(–1).6探究一消去法与消去式之后，任务转向到“消参”，6个参量x1,x2,x;y1,y2，y全部消去之时，就是答案——数量积得到最值之时.把向量的数列积表示成点的坐标式这个方法叫做“消参法”，它是“设参法”的逆向方法.如何消去呢，“消去法”必须靠“消去式”来操作.以下是这些参数消去时所用到的消去式：7（1）消去x2，y2时，用的是中点公式：（2）消去x1，y2时，用的是圆的方程式：（3）消去x2时，用的椭圆的方程式：以上5个参数的消去，消去式全为等式.（4）最后消y，消去式用的是不等式：(y+1)2≥0.注意，只有用不等式消参y，才能得

4、到的最值.消去式列举8消去法不只一种另解：对则注意：中点公式、椭圆与圆的参数方程，全部用作了消去式！9消去三角函数用三角恒等式则10用三角函数最值求向量积最值则三角消去式回顾：等式有sin2δ+cos2δ=1,sin2α+cos2α=1,不等式有11探究二点对圆的幂已知：定圆G：(x–a)2+(y–b)2=r2和定点O(0，0).EF是定圆任意一条直径的两个端点.当消去法进行到时，人们发现：这个数量积与E、F的具体位置无关，只要它是已知圆的任意一条动直径的两个端点就行.也就是说：当P点固定的时候，是个定值.不失一般性，我们用下面的命题说明这个事实.求证：（1）是个定值.

5、（2）这个定值就是这个定点对这个定圆的幂.12从数量积的定义开始证明（1）：如图，记d2=OG2=a2+b2,设夹角为θ，则13余弦定理化简数量积代（2）式于式（1），化简得当定点和定圆确定后，d和r都是定值.由此证得是定值.设∠OGE=α，则∠OGF=π–α，于是有OE2=d2+r2–2dr，OF2=d2+r2+2dr（2）14定点对定圆的幂证明（2）：设割线OG交定圆于A、B.由于AB也是定圆的直径，故有另一方面，又OA·OB是定点O对定圆的幂，所以这个定值也就是定点对定圆的幂.15向量积中的圆幂定理过定点O作定圆的任意一条割线OCD(没有画出).则有结论：这就是向

6、量积中的圆幂定理.点O在圆外时，点O在圆上时，点O在圆内时，16点对点的幂过定点O作定圆的任意一条割线OCD.则有：固定圆心不变，让圆的半径r变小，则定点O对定心圆的幂变小.r=0时，点E、F重合，定心圆退化为点圆，此时，点对圆的幂退化为点对点的幂.显然，点对点的幂就是两点间距离的平方.17第18（Ⅱ）题的题根题：设椭圆M：，P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2+(y–2)2=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点）,求的最大值.在定圆半径确定的前提下，最大值由d决定。由此发现问题之根：题根：P是椭圆M：上的动点，G(0,2)为定点,求PG长度的最大值.自然，定点

7、G(0,2)移动后,PG长度的最大值也将随着变化.18第18（Ⅱ）题的推广题：设椭圆M：，P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2+(y–2)2=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点）,求的最大值.…………19