Gauss消去法、 矩阵分解.ppt

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1、2.1Gauss消去法下面通过简单例子导出一般算法。设给定方程组(1)§5.2Gauss消去法、矩阵分解乘以第一个方程，这样方程组（1）(2)化为其中：显然方程组（2）和原方程组（1）等价若，则以第个方程减去(3)其中依此方法继续下去，得到以（2）的第个方程减去乘以第二个方程，得到（4）其中从（4）的最后一个方程组得到再将代入（4）倒数第二个方程，可得：类似地，得到：我们称将方程组（1）按以上步骤化为等价方程组（4）的过程为解线性方程组的消元过程从（4）中得出解的过程称为高斯消去法的回代过程一般情形对于一般的阶线性代数方程组即1.消元过程首先消去

2、第一列除之外的所有元素，设总可由消元过程得到系数矩阵为上三角阵的线性代数方程组，其第步的结果为其中这里取2.回代过程若通过消元过程原方程组已化为等价的三角形方程组且,则逐步回代可得原方程组的解2.2Gauss主元素消去法Gauss逐步消去法有如下的缺点：任一主元，就无法做下去任一绝对值很小时,也不行（舍入误差的影响大）例二元线性方程组精确解为下面我们用三位浮点十进制数求解：（1）按Gauss逐步消元法得近似解完全失去近似意义。（2）变换方程的顺序然后消元得近似解相当近似下面我们讨论选主元素的方法。1)列主元消去法假设Gauss消去法的消元过程进行

3、到第步，设并令为达到最大值的最小行标，则交换和中的第行和第行，再进行消元过程的第步。这时每个乘子都满足可以防止有效数字大量丢失而产生误差。2)全主元消去法定义然后进行第步消元过程此时交换和的行及的列，使主元位置的元素的绝对值具有给出的最大值，注意：因为有列的交换，因此未知量的次序有改变，待求解过程结束后必须还原。多使用列主元消去法。2.3矩阵的三角分解与Gauss消去法的变形Gauss消去法的实质是将矩阵分解为其中--单位下三角矩阵，--上三角矩阵。事实上，线性方程组经过步消元过程后，有等价方程组其中：而和的形式为：（1）可以直接验证其中记则乘积

4、是下三角阵，且对角元全部等于1则也是对角元等于1的下三角阵用矩阵依次左乘原给方程组两边，得等价方程组我们可以计算得到则其中由于为上三角阵，记,于是得到(2)Gauss逐步消去法等价于下述过程：2.求解三角形方程组（回代过程）。(注意上面的全部讨论中要求)定义称为的阶顺序主子矩阵其中证明我们得到(3)其中形如(1)式我们可以将写成定理5.10将（3）写成分块形式为其中为的阶顺序主子阵，为的阶顺序主子阵。于是得到从而因此即有分解形式的充分必要条件为的所有顺序主子阵非奇异。最后,我们假设是的两个形如(2)的分解，那么既是对角元等于1的上三角阵，又是对角

5、元等于1的下三角阵，即，所以从而的分解形式是唯一的。证毕定理5.11Doolittle分解算法：比较等式两边对应元素可算出Doolittle分解也可通过令Crout分解：比较两边对应的元素，得到例实际上，进一步可以做分解其中、分别为单位下、上三角阵当为对称正定矩阵时，A存在三角分解其中为下三角矩阵。1.对称正定阵的Cholesky分解首先我们来看一个命题:证明:我们对A做分解其中、分别为单位下、上三角阵又由于则于是有由于正定，故有取令即得证毕我们将上面的这种分解称为Cholesky分解。下面我们讨论Cholesky分解的算法。比较两边对应的元素，

6、有：因正定，就有，故以的第二行乘的前两列即得又可以解出一般地，对有由的正定性可知平方根中值为正的由矩阵乘法解得例2解三对角方程组的追赶法设线性方程组的系数矩阵为三对角矩阵当的所有顺序主子矩阵非奇异时可作如下分解追赶法：（1）分解（Doolittle分解）对计算（2）解（“追”过程）对计算（3）解（“赶”过程）对于计算