方程组-Gauss消去法

《方程组-Gauss消去法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、引言高斯消去法选主元素的高斯消去法矩阵的三角分解解三对角方程组的追赶法第六章方程组的数值解法解对称正定方程组的平方根法解线性方程组的迭代法病态方程组和迭代改善法向量和矩阵的范数第一节引言实际问题中的线性方程组分类：按系数矩阵中零元素的个数：稠密线性方程组稀疏线性方程组按未知量的个数：高阶线性方程组低阶线性方程组(如1000)(80%)按系数矩阵的形状对称正定方程组三角形方程组三对角占优方程组1、消元与回代计算对线性方程组对其增广矩阵施行行初等变换:1、Gauss消去法－－－－直接法定义行乘数且定义行乘数上述过程的求解过程叫做回代过程定理1：如果A为n阶非奇

2、异矩阵，则可通过Gauss消去法将方程组的系数阵化为三角型系数阵。定理2：如果n阶矩阵A的所有顺序主子式均不为零，则可通过Gauss消去法，将方程组的系数阵化为三角型系数阵。直接法是将原方程组化为一个或若干个三角形方程组的方法，共有若干种．对于线性方程组系数矩阵未知量向量常数项其中------------(1)2、矩阵的三角分解－－－直接法根据Cramer(克莱姆)法则,若determinantal行列式的记号若用初等变换法求解,则对其增广矩阵作行初等变换:经过n-1次同解即以上求解线性方程组的方法称为Gauss消去法则都是三角形方程组上述方法称为直接三角

3、形分解法-------(2)Gauss消元过程与系数矩阵的分解Gauss消去法消元过程的矩阵描述行变换相当于左乘初等矩阵由于令则显然若令则有：故:因此:从而:即且顺序主元定义1.不带行交换的Gauss消去法的消元过程,产生一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵U,即该过程称之为由上述分析不难得到Gauss消去法可以执行定理1.在定理中,可能注意到可能存在不论是Gauss消去法还是直接三角形分解法,最都归结为解三角形方程组2、三角形线性方程组的解法若记下三角形线性方程组上三角形线性方程组即回代方向其解为其解为:回代方向3、Gauss消去法的运算量计算机作乘除运

4、算所耗时间要远远多于加减运算且在一个算法中，加减运算和乘除运算次数大体相当故在衡量一个算法的运算量时只需统计乘除的运算次数乘法次数：除法次数：全部回代过程需作乘除法的总次数为于是Gauss消去法的乘除法运算总的次数为数级Gauss消去法乘除法约为2700次而如果用Cramer法则的乘除法运算次数约为或用行列式定义用行列式性质例1.用Gauss消去法解线性方程组(用3位十进制浮点数计算）解:本方程组的精度较高的解为用Gauss消去法求解(用3位十进制浮点数计算)1、Gauss列主元消去法的引入3选主元素的Gauss消去法9999回代后得到与精确解相比,该结果

5、相当糟糕究其原因,在求行乘数时用了很小的数0.0001作除数主元如果在求解时将1,2行交换,即0.9999回代后得到这是一个相当不错的结果例2.解线性方程组(用8位十进制尾数的浮点数计算)解:这个方程组和例1一样,若用Gauss消去法计算会有小数作除数的现象,若采用换行的技巧,则可避免绝对值最大不需换行经过回代后可得事实上,方程组的准确解为例2所用的方法是在Gauss消去法的基础上,利用换行避免小主元作除数,该方法称为Gauss列主元消去法开始输出无解信息消元换行停机回代求解Gauss列主元消去法的算法设计(一)流程图