用集合论深谈加减消去消去消去消去法与加减不消

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1、用集合論深談『加減消去法』與『加減不消去法』的真正含意與應用第一頁定義:方程式f(x,y)=0的解集合為A,,方程式g(x,y)=0的解集合為Bfxy(,)0=則聯立方程式的解集合為A∩Bgxy(,)0=超級大定理:方程式f(x,y)=0的解集合為A,方程式g(x,y)=0的解集合為B且d(x,y,),d(x,y)12為任意代數式且d(x,y)f(x,y)+d(x,y)g(x,y)=0的解集合為C12則必A∩B⊂C亦即方程式d(x,y)f(x,y)+d(x,y)g(x,y)=0恒過兩圖形f(x,y)=0與g(x,y)=012之所有交

2、點pf:∀P(α,β)∈A∩B⇒P(α,β)∈A且P(α,β)∈B⇒f(α,β)=0且g(α,β)=0⇒d(α,β)f(α,β)+d(α,β)g(α,β)=0成立12P(,)αβ代入d(x,y)f(x,y)+d(x,y)g(x,y)=0成立12⇒P(,)αβ∈C所以A∩B⊂C單單單元單元元元一一一一：『加減消去法』3x−2y=5例題一：解聯立方程式2xy+=4說明：方程式3x−2y=5的解集合為A,方程式2x+y=4的解集合為B且1(3x−2y−5)+2(2x+−y4)=0的解集合為C且A∩B⊂C137x−13=⇒0x=為一條鉛直線

3、且其解集合為C且A∩B⊂C73x−2y=5又只有一個交點,其坐標為(,xy)=(,)132⇒A∩C={(,)}13213007777x=7132由A∩B⊂C且A∩B⊂A⇒A∩B⊂A∩C={(,)}77132則必A∩B=φ或{(,)}77由(,)132∈A且(,)132∈B則必(,)132∈∩AB則必A∩B={(,)}132777777772yx=例題二：解聯立方程式22NOTE：(,xy00)為交點坐標則必xy0,0∈R(x−3)+y=522說明：方程式y=x的解集合為A={(,xy)

4、xy,∈Ry,,=x}000000222

5、2方程式(x−3)+y=5的解集合為B={(,xy)

6、xy,∈R,,(x−3)+y=5}0000002yx=聯立方程式的解集合即為A∩B22(x−3)+y=5222222422方程式y=(x)的解集合為A′且A⊂A′因為y=(x)=x包含y=x與y=−x2242且1[(x−3)+y−5]+1(x−y)=0的解集合為C且A∩B⊂A′∩B⊂C2224222則必(x−3)+()x−5=0⇒x+x−6x+=⇒40(x−1)(x+2x+4)=022⇒(x−1)[(x+1)+3]0=則必x=1為一條鉛直線且其解集合為C={(,xy)

7、xy,∈R

8、x,,=1}且A∩B⊂C000002yx=又只有一個交點,其坐標為(,xy00)=(1,1)⇒A∩C={(1,1)}x=1由A∩B⊂C且A∩B⊂A⇒A∩B⊂A∩C={(1,1)}則必A∩B=φ或{(1,1)}由(1,1)∈A且(1,1)∈B則必(1,1)∈∩AB⇒A∩B={(1,1)}用集合論深談『加減消去法』與『加減不消去法』的真正含意與應用第二頁22x+4y=4例題三：解聯立方程式22x+(y−6)=12222解：x+4y=4....的解(點)集合設為T,,x+(y−6)=1....的解(點)集合設為T本題即求T∩T121

9、22222由x+4y=4則必x≥⇒−044y≥⇒−≤01y≤122222由x+4y=4則必y≥⇒04y≥⇒−04x≥⇒−≤02x≤2設滿足−≤2x≤2,,1−≤y≤1的解(點)集合為T(圖形為長方形區域)且T⊂T3132222由1(x+4y−4)+−1(x+(y−6)−1)=0恒過TT,所有交點1222⇔3y+12y−39=0⇔y+4y−13=0⇔y=−±217⇔y=−+217或y=−−217設y=−+217的點集合為L且y=−−217的點集合為L12則必(T∩T)⊂(L∪L)1212明顯(L∪L)∩T=φ123再由(T∩T)⊂T⊂T及(

10、T∩T)⊂(L∪L)1213121222x+4y=4則必(T1∩T2)⊂T3∩(L1∪L2)=φ⇒T1∩T2=φ即聯立不等式22無解x+(y−6)=122x+4y=4例題四：解聯立方程式22x+(y−6)=2522解：x+4y=4...............的解(點)集合為T122x+(y−6)=25......的解(點)集合為T本題即求T∩T2122222由1(x+4y−4)+−1(x+(y−6)−25)=022⇔3y+12y−15=0⇔y+4y−=50⇔y=−5或y=1恒過TT,所有交點12設y=−5的點集合為L且y=1

11、的點集合為L12則必(T∩T)⊂(L∪L)且T∩T⊂T1212121可推得(T∩T)⊂[(L∪L)∩T]=(L∩T)∪(L∩T)={(0,1)}∪=φ{(0,1)}121211121則必(T∩