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时间:2020-03-02
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1、1.分类讨论的常见情形 (1)由数学概念引起的分类讨论:主要是指有的概念本身是分类的,在不同条件下有不同结论,则必须进行分类讨论求解,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等. (2)由性质、定理、公式引起的分类讨论:有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同条件下结论不一致,如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),由a的正负而导致开口方向不确定,等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等. (3)由某些数学式子变形引起的分类讨论:有的数学式子本身是分类给出的,如ax2+bx+c>0,a=0,a<0,a>0解法是不同的. (4)由图形引起的分类讨论:有的图形的类
2、型、位置也要分类,如角的终边所在象限,点、线、面的位置关系等. (5)由实际意义引起的讨论:此类问题在应用题中常见. (6)由参数变化引起的讨论:所解问题含有参数时,必须对参数的不同取值进行分类讨论;含有参数的数学问题中,参变量的不同取值,使得变形受限导致不同的结果.2.分类的原则 (1)每次分类的对象是确定的,标准是同一的; 分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论,即认识为什么要分类讨论,又从几方面开始讨论,只有明确了讨论原因,才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义,考虑问题要全面.函数问题中的定义域,方程问题中根之间的大小,直线与二次曲线位置关系
3、中的判别式等等,常常是分类讨论划分的依据. (2)每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论. 当问题中出现多个不确定因素时,要以起主导作用的因素进行划分,做到不重不漏,然后对划分的每一类分别求解,再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法.3.分类讨论的一般步骤 第一,明确讨论对象,确定对象的范围; 第二,确定分类标准,进行合理分类,做到不重不漏; 第三,逐类讨论,获得阶段性结果; 第四,归纳总结,得出结论.4.分类讨论应注意的问题 第一,按主元分类的结果应求并集. 第二,按参数分类的结果要分类给出. 第三,分类讨论是一种重要的解题策略,但这种分类讨
4、论的方法有时比较繁杂,若有可能,应尽量避免分类.类型一:不等式中的字母讨论 1、解关于的不等式:. 思路点拨:依据式子的特点,此题应先按对最高次项的系数是否为0来分类,然后对式子分解因式,并按两个根之间的大小关系来分类讨论.而对于与时,先写简单好作的. 解析:81 (1)当时,原不等式化为一次不等式:,∴; (2)当时,原不等式变为:, ①若,则原不等式化为 ∵,∴,∴不等式解为或, ②若,则原不等式化为, (ⅰ)当时,,不等式解为, (ⅱ)当时,,不等式解为; (ⅲ)当时,,不等式解为, 综上所述,原不等式的解集为: 当时,解
5、集为; 当时,解集为{x
6、x>1}; 当时,解集为; 当时,解集为; 当时,解集为. 总结升华: 1.对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤: (1)明确讨论的对象,确定对象的全体,确定分类标准,正确分类,不重不漏; (2)逐步进行讨论,获得结段性结论; (3)归纳总结,综合结论. 2.一般分类讨论问题的原则为:81按谁碍事就分谁.不等式中的字母讨论标准有:最高次项的系数能否为0,不等式对应的根的大小关系,有没有根(判别式)等. 3.字母讨论一般按从易到难,从等到不等的顺序进行. 举一反三: 【变式1】解关于的不等式:(). 解析:原不等式可分
7、解因式为:, (下面按两个根与的大小关系分类) (1)当,即或时,不等式为或,不等式的解集为:; (2)当,即时,不等式的解集为:; (3)当,即或时,不等式的解集为:; 综上所述,原不等式的解集为: 当或时,; 当时,; 当或时,. 【变式2】解关于的不等式:. 解析: (1)当时,不等式为,解集为; (2)当时,需要对方程的根的情况进行讨论: ① 即时,方程有两根 . 则原不等式的解为.81 ② 即时,方程没有实根, 此时为开口向上的抛物线,故原不等式的解为. ③ 即时,方程有两相等实根为, 则原不等式的解
8、为. (3)当时,恒成立, 即时,方程有两根 . 此时,为开口向下的抛物线, 故原不等式的解集为. 综上所述,原不等式的解集为: 当时,解集为; 当时,解集为; 当时,解集为; 当时,解集为.类型二:函数中的分类讨论 2、设为实数,记函数的最大值为, (Ⅰ)设,求的取值范围,并把表示为的函数; (Ⅱ)求;81 (Ⅲ)试求满足的所有实数. 解析: (I
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