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1、实验7定积分的近似计算内容提要在实际问题中遇到的定积分,被积函数往往不可能用算式给出,而只能通过图形或表格给出;或者虽然可以用一个算式给出,但是要计算出它的原函数却是很困难,甚至原函数可能是非初等函数,因而产生”积不出来”的情况.这时就不能用牛顿-莱布尼茨公式来计算定积分,而需要考虑定积分的近似计算问题.所谓定积分的近似计算,就是找到一个适当的计算公式,利用被积函数在积分区间上若干点处的函数值,来计算定积分的近似值,并且作出误差的估计.定积分的近似计算我们知道,定积分(设f(x)0不论在实际问题中的意义是什么,在数值上都
2、等于曲线y=f(x),直线x=a,x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积.因此,不管f(x)以什么形式给出,只要近似地算出相应的曲边梯形的面积,就得到了所给定积分的近似值.这是定积分近似计算方法的基本思想.我们介绍两种常用而简便的定积分的近似计算方法,所导出的公式对于f(x)在[a,b]上不是非负的情形也适用.定积分的近似计算梯形法梯形法就是把曲边梯形分成若干个窄曲边梯形,然后用窄梯形的面积近似代替窄曲边梯形面积,把它们相加从而求得定积分的近似值.具体方法如下:用分点a=x0,x1,…将区间分为个长度相等的小区间,每个小区间
3、的长度为.设函数对应于各分点的函数值为即(i=0,1,…,n).如图35所示,每一个窄梯形的面积为：定积分的近似计算从而有：公式(3)称为梯形法公式.以下我们来估计梯形法的误差.第i个窄曲边梯形的面积为：定积分的近似计算令则，并且当时，t=0,当时，t=1,于是当时，利用分布积分法可以证明：定积分的近似计算如果当时,,那么,第i个窄曲边梯形与相应的窄梯形面积之差的绝对值将有以下估计:定积分的近似计算抛物线法梯形法是通过用许多直线段分别近似代替原来的各曲线段,即逐段地用线性函数近似代替被积函数,从而算出定积分的近似值.为了
4、提高精确度,可以考虑在小范围内用二次函数来近似代替被积函数,即用对称轴平行于y轴的抛物线上的一段弧来近似代替原来的曲线弧,从而算出定积分的近似值.这种方法称为抛物线法,也称为辛普森(Simpson)法.具体方法如下:定积分的近似计算用分点a=,将区间[a,b]分为n(偶数)个长度相等的小区间,各分点对应的函数值为.曲线y=f(x)也相应地被分为n个小弧段,设曲线上的分点为我们知道,过三点可以确定一条抛物线.于是在每两个相邻的小区间上经过曲线上的三个相应的分点作一条抛物线,这样可以得到一个曲边梯形,把这些曲边梯形的面积相加
5、,就可以得到所求定积分的一个近似值.由于两个相邻区间决定一条抛物线,所以用这种方法时,必须将区间[a,b]分成偶数个小区间.定积分的近似计算下面我们先来计算[-h,h]上以过点的抛物线为曲边的曲边梯形的面积.首先,抛物线方程中的p﹑q﹑r可由下列方程组确定:由此得到于是所求面积为：定积分的近似计算这个曲边形的面积仅与的纵坐标及底边所在区间的长度2h有关。
