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1、杨浦区2017学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷2018.4.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．函数的零点是．2．计算：．3．若的二项展开式中项的系数是，则．4．掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为．5．若、满足，则目标函数的最大值为．6．若复数满足，则的最大值是．7．若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为的三角形，则该圆锥的体积是．8．若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则．9．若，则的值为．10．若为等比数列，，且，则的最小值为．11．在中，角,,所对的边分别为,,，，．若为钝角，，则的面
2、积为．12．已知非零向量、不共线，设，定义点集第14页.若对于任意的，当，且不在直线上时，不等式恒成立，则实数的最小值为．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）13．已知函数的图象如图所示，则的值为（）14．设是非空集合，定义：=.已知，，则等于（）．．．．15．已知,则“”是“直线与”平行的（）充分非必要条件 必要非充分条件第14页充要条件 既非充分也非必要条件16．已知长方体的表面积为，棱长的总和为.则长方体的体对角线与棱所成角的最大值为（）三、解答题17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）共享单车给市民出
3、行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析，每辆单车的营运累计利润(单位：元）与营运天数满足.（1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围；（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润的值最大？第14页18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在棱长为1的正方体中，点是棱上的动点.（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角是45，请你确定点的位置，并证明你的结论.19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.第14页(1)若，，（）
4、，求数列的前项和；(2)若，且，求证：数列是等差数列.20．（本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点、，线段的中点为．（1）若，点在椭圆上，分别为椭圆的两个焦点，求的范围；（2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（3）若过点，射线与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率；若不能，说明理由．第14页21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）记函数的定义域为.如果存在实数、使得对任意满足且的恒成立，则称为函数.（1）设函数，试
5、判断是否为函数，并说明理由；（2）设函数，其中常数，证明：是函数；（3）若是定义在上的函数，且函数的图象关于直线（为常数）对称，试判断是否为周期函数？并证明你的结论.第14页杨浦区2017学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷答案2018.4.10一、填空题1.；2．；3．4；4.；5．3；6.2；7．；8．4；9．；10．4；11．．；12.二、选择题13．C；14.A；15．B;16.D;第14页三、解答题17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）【解】（1）要使营运累计收入高于800元，令，…………………………………2分解得
6、.…………………………………5分所以营运天数的取值范围为40到80天之间.…………………………………7分（2）…………………………………9分当且仅当时等号成立，解得…………………………12分所以每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天.…14分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D(0,0,0),A（1，0，0），B(1,1,0)，C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1)，设E(1,m,0)（0≤m≤1）（1）证明：，………2分………4分所以
7、DA1⊥ED1.……………6分另解：，所以.……………2分又，所以.……………………………4分第14页所以……………………………6分（2）以A为原点，AB为x轴、AD为y轴、AA1为z轴建立空间直角坐标系…………7分所以、、、，设，则………8分设平面CED1的法向量为，由可得，所以，因此平面CED1的一个法向量为………10分由直线与平面所成的角是45，可得……11分可得，解得………13分由于AB=1，所以直线与平面所成的角是45时，点在线段AB中点处.…14分19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）【解】（1），所以.两式相减得.即……
8、…2分所以，即，………3分又，所以，得………4分因此数列为以2为首
