肿瘤的生长规律.ppt

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1、肿瘤的生长规律倪致祥教授问题恶性肿瘤是目前威胁人类的一个主要的杀手，研究恶性肿瘤的生长规律，有助于人类认识其生长特点，寻找控制消灭它的措施。为了定量地研究肿瘤的生长规律，我们希望建立一个肿瘤生长的数学模型。建立数学模型的第一步是从实践的观察结果出发。观察数据通过临床观察人们发现肿瘤细胞的生长有下列现象：1.  按照现有手段，肿瘤细胞数目超过1011时，临床才可能观察到。2.  在肿瘤生长初期，每经过一定的时间，肿瘤细胞数目就增加一倍。3.  在肿瘤生长后期，由于各种生理条件的限制，肿瘤细胞数目逐渐趋向某个稳定值。根据上面的观察结果，你能不能建立一个简明的数学模型，来描述恶性肿瘤的生

2、长规律？模型一设时刻t肿瘤细胞数目为n(t)，由观察2我们可以假设肿瘤细胞的增长速度与当时该细胞数目成正比，比例系数（相对增长率）为k。则可以得到如下方程：n’(t)=kn(1)其解为n(t)=n(0)ekt(2)据临床观察1，可令n(0)=1011；据临床观察2，设细胞增加一倍所需时间为T，则有n(t＋T)=2n(t)(3)模型一n(t)=n(0)ekt(2)据临床观察1，可令n(0)=1011；据临床观察2，设细胞增加一倍所需时间为T，则有n(t＋T)=2n(t)(3)将(2)式代入(3)式后，有T=ln2/k。由此可以得到肿瘤细胞的生长规律为n(t)=1011etln2/T=

3、10112t/T(4)上面得到的模型称为指数模型，它能够很好地反映临床观察1和观察2。但是该模型未能反映出临床观察3，因此需要进一步修改。模型二考虑到临床观察3，我们需要对指数模型进行修正。荷兰生物数学家Verhulst提出设想：相对增长率随细胞数目n(t)的增加而减少。若用N表示因生理限制肿瘤细胞数目的极限值，f(n)表示相对增长率，则f(n)为n的减函数，为处理方便，令f(n)为n的线性函数：f(n)=a–bn(5)显然当n=N时，f(n)＝0；假设当n=0时，f(n)=k，代入上式即可解得a=k,b=k/N(6)模型二a=k,b=k/N(6)f(n)=k(1–n/N)则n(t

4、)满足微分方程n’(t)=kn(1-n/N)(7)该方程称为Logistic模型或者Verhulst-Pearl阻滞方程，广泛应用于医学、农业、生态和商业等领域。Verhulst-Pearl阻滞方程的意义也可以作如下理解：k是肿瘤的固有增长率(Potentialrate)，即如果没有生理限制而且细胞之间互不影响时的增长率。模型二Verhulst-Pearl阻滞方程的意义也可以作如下理解：k是肿瘤的固有增长率(Potentialrate)，即如果没有生理限制而且细胞之间互不影响时的增长率。由于有生理限制和细胞之间的相互影响，存在一个最大可能的细胞数目N。细胞数目为n的肿瘤中还未出生部

5、分所占的比例为1－n/N。因此，肿瘤细胞数目的实际增长率应为其固有增长率乘以上述比例，即k(1–n/N)(8)这个结果与方程(7)完全一致。模型二n’(t)=kn(1-n/N)(7)利用分离变量法，上述方程可以化为(9)由此可以解出(10)模型二由上面的结果，n(0)=n0=1011；在肿瘤生长初期，t～0，因此有n(t)=n0ekt容易验证n(t＋ln2/k)=2n(t)，即每经过一定的时间，肿瘤细胞数目就增加一倍；在肿瘤生长后期，t，n(t)N，即肿瘤细胞数目逐渐趋向某个稳定值。这些与观察结果完全一致。Gompertzlan模型在某些情况下，Verhulst模型与实测数据

6、吻合得不好，模型的理论增长率下降得过快，小于实际增长率。这时我们可以考虑将相对增长率从n的线性函数修改为n的对数函数，即把相对增长率取为f(n)=-kln(n/N)(11)其中负号表示随n的增加而减少，但不是线性关系，而是与n在极限值中所占比例的对数有关。由此得到微分方程n’(t)=-knln(n/N)(12)Gompertzlan模型由此得到微分方程n’(t)=-knln(n/N)(12)解为n(t)=n0[N/n0]1-exp(-kt)(13)在肿瘤生长初期，t～0，exp(-kt)=1-kt因此有n(t)=n0(N/n0)kt容易验证每经过一定的时间，肿瘤细胞数目就增加一倍；

7、在肿瘤生长后期，t，n(t)N，即肿瘤细胞数目逐渐趋向某个稳定值。这些与观察结果完全一致。一般模型本世纪80年代，有人对肿瘤生长规律提出了更一般的模型：n’(t)=(kn/a)[1-(n/N)a],a≥0(14)其解为n(t)=N{1+e-kt[(N/n0)a-1]}-1/a(15)显然当a=1时，我们回到了Logistic模型；而当a0时，我们又可以得到Gompertzlan模型。由于参数a可以在大于零的范围内任意取值，故上述模型具有高度的一般性和广泛的适应