平面向量(沪教版).doc

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1、专题：平面向量的概念知识梳理1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.例如：力，速度。2．表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用小写字母，…或用，，…表示.注意：我们用有向线段表示向量，而不能认为向量就是一个有向线段.3．模：向量的长度叫向量的模，记作或.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.4．零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；零向量的方向不确定.注意：0和是不同，0是一个数字，代表一个向量，不要弄混.5．单位向量：长度为1个长度单位的向量

2、叫做单位向量.注意：单位向量不是只有一个，有无数多个，如果把它们的起始点重合，终止点刚好可以构成一个单位圆。6．共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.注意：由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量平行向量和共线向量是一个意思，对于两个非零向量，若存在非零常数使是的充要条件.7．相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.练习：★判断下列命题的真假1、平行向量的方向一定相同的.(×)解：有可能方向相反.2、与零向量相等的向量必定是零向量

3、.(√)3、零向量与任意的向量方向都相同。(√)4、向量就是一条有向的线段。(×)5、若，，则.(√)6、若，则(×)解：注意区分0和零向量.10典例精讲例1（★）下列说法正确的是（D）A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C、向量的大小与方向有关.D、向量的模可以比较大小.解析：任何都向量不能比较大小，模可以比较大小例2（★★）给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若，则；③若，则四边形ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD

4、中，一定有；⑤若，，则；⑥若，则正确的是____④⑤______解析：①把一个向量平移后向量是不变的，③A,B,C,D有可能在一条直线上，⑥可能是零向量例3.（★★）在平行四边形中，下列结论中错误的是（C）课堂检测1（★）下列说法中错误的是（A）(A)零向量没有方向(B)零向量与任何向量平行(C)零向量的长度为零(D)零向量的方向是任意的2（★★）已知O在所在平面内，且，且则点O是的（B）A.重心B.外心C.垂心D.内心解：向量经常会放在三角形中考虑，重心：中线交点，外心：垂直平分线交点，垂心：高（垂线）的交点，

5、内心：角平分线的交点。103（★★★）判断下列各命题的真假：（1）向量的长度与向量的长度相等；（2）向量与向量平行，则与的方向一定相同或相反；（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（　C　）A、2个　　B、3个　　C、4个　　D、5个解：假命题是（2）（4）（5）（6）;（2）向量与向量有一个为零向量，专题：平面向量的数量积知识梳理1

6、、向量的夹角：已知两个非零向量，如果以O为起点作，那么射线的夹角叫做向量与的夹角．的取值范围是（1）当时，表示向量与方向相同；（2）当时，表示向量与方向相反；（3）当时，表示向量与相互垂直。【注意：一定牢记夹角的取值范围，特别是和的实际意义。】2、向量的数量积已知两个非零向量与的夹角为（），则把叫做与的数量积，记作．即（1）两个向量的数量积是一个实数；（2），当且仅当时，（3）已知两个非零向量与的夹角为，则叫做向量在方向上的投影．显然在方向上的投影等于．10（4）的几何意义：等于其中一个向量的模与另一个向量在向量

7、的方向上的投影的乘积．【数量积中的运算符号“”不能写作“”，也不能省略。在方向上的投影是数值（其正负由夹角的大小而定），而不是长度，也不是向量；】3、向量数量积的运算律①交换律成立：②对实数的结合律成立：③分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=0④但是乘法公式成立：；；等等。⑤两个向量垂直的充要条件是：4、向量数量积的坐标表示设，则，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。与夹角为，则与的夹角为锐角等价于且与的夹角为钝角等价于且【引进向量的坐标表示和运

8、算，揭示了向量的方向的本质属性。】典例精讲10例1.（★★）（1）已知向量与的夹角为，且，则在的方向上的投影是；（2）在中，，，求的值。解：（1）与的夹角为，且，又，，所以向量在向量方向上的投影是。（2），又，【（1）在方向上的投影是数值（其正负由夹角的大小而定），而不是长度，也不是向量；（2）找准向量的夹角，用好数量积公式是解决有关向量数量积问题的两个要点。】例2.（★