数学高二(上)沪教版(平面向量的分解定理及向量的应用)教师版.doc

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1、.年级：高二辅导科目：数学课时数：3课题平面向量的分解定理与向量的应用教学目的1.了解平面向量基本定理的证明2.学会用平面两不共线向量表示平面任一向量。教学容【知识梳理】　　平面向量分解定理：如果是平面的两个不平行向量，那么对于这一平面的任意向量，有且只有一对实数，使，我们把不平行的向量叫做这一平面所有向量的一组基。证明唯一性：证明：（1）当时，（2）当时，假设，则有=.由于不平行，故，即.注意：（1）基底不共线；（2）将任一向量在给出基底的条件下进行分解；（3）基底给定时，分解形式唯一，是被，唯一确定的数量。特别：.若＝，则是三点P、A、B共线的充要条件.注意：

2、起点相同，系数和是1。【典型例题分析】例1、平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且，分别用表示和.解：在平行四边形ABCD中，，..变式练习：已知是不平行的两个向量，是实数，且，用表示.解：CABDab例2、证明：菱形对角线互相垂直。证：设==,==∵ABCD为菱形∴

3、

4、=

5、

6、O(A)BCD∴×=(+)(-)=2-2=

7、

8、2-

9、

10、2=0∴^证法二：设B(b,0)，D(d1,d2)，则=(b,0),=(d1,d2)于是=+=(b,0)+(d1,d2)=(b+d1,d2)=-=(d1-b,d2)∵•=(b+d1)(d1-b)+d2d2=(d12+d22)-b2=

11、

12、

13、2-b2=

14、

15、2-b2=b2-b2=0∴^[说明]二种方法进行比较，开拓学生的解题思维，提高能力.例3、对任意非零向量a、b，求证：

16、a

17、－

18、b

19、≤

20、a±b

21、≤

22、a

23、+

24、b

25、.证明：分三种情况考虑.（1）当a、b共线且方向相同时，

26、a

27、－

28、b

29、＜

30、a+b

31、=

32、a

33、+

34、b

35、，

36、a

37、－

38、b

39、=

40、a－b

41、＜

42、a

43、+

44、b

45、.（2）当a、b共线且方向相反时，∵a－b=a+（－b），a+b=a－（－b），利用（1）的结论有

46、

47、a

48、－

49、b

50、

51、＜

52、a+b

53、＜

54、a

55、+

56、b

57、，

58、a

59、－

60、b

61、＜

62、a－b

63、=

64、a

65、+

66、b

67、.（3）当a，b不共线时，设=a，=b，作=+=a+b，=－=

68、a－b，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得

69、

70、a

71、－

72、b

73、

74、＜

75、a±b

76、＜

77、a

78、+

79、b

80、.综上得证.此结论的运用：设，其中，求的最小值。..例4、已知平行四边形中,、是对角线、上的两点，且，试用向量方法证明四边形也是平行四边形分析：由平面向量的基本定理可知向量及用一组基底来唯一表示,要证明四边形是平行四边形,只要证明用相同的基底表示出来的向量及是相同的即可.(分析很重要,突出向量基本定理及基底的作用,使学生对问题的认识在原有的基础上更深入一步) 　　　　　　　　 　　证设, 则　　　　,　　　　而.　　　　所以,四边形为平行四边形.ABCDEFH

81、例5、如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。证：设BE、CF交于一点H，=a,=b,=h,则=h-a,=h-b,=b-a∵^,^∴∴^又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点变式练习：已知O为△ABC所在平面一点，且满足

82、

83、2+

84、

85、2=

86、

87、2+

88、

89、2=

90、

91、2+

92、

93、2，求证：^..证：设=a,=b,=c,则=c-b,=a-c,=b-a由题设：2+2=2+2=2+2，化简：a2+(c-b)2=b2+(a-c)2=c2+(b-a)2得：c•b=a•c=b•a从而•=(b-a)•c=b•c-a•c=0∴^同理：^,^例6

94、、已知向量，是否能以向量为平面所有向量的一组基底向量？若能，是将用这一基底向量表示出来，若不能，请说明理由。解析：不共线，顾一定能以为平面的所有向量的基底向量，例7、(1)有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝_______方向行驶.解析：如下图，为使小船所走路程最短，v水+v船应与岸垂直.又v水==1，v船==，∠ADC=90°，∴∠CAD=45°.答案：与水速成135°角的(2).如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上.∠ACW=150°，∠BCW=120°，求A和B处所受力的大小.（忽略绳子重量）解：设A、B处所

95、受力分别为f1、f2，10N的重力用f表示，则f1+f2=f.以重力作用点C为f1、f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则=f1，=f2，=f，则∠ECW=180°－150°=30°，∠FCW=180°－120°=60°，∠FCE=90°.∴四边形CEWF为矩形.∴

96、

97、=

98、

99、cos30°=10·=5，｜｜=

100、

101、cos60°=10×=5...∴A处受力为5N，B处受力为5N.例8、已知平面向量①证明：；②若存在不同时为零的实数和，使，且，试求函数关系式；③根据（2）的结论，确定函数的单调区间。解、（1）所以　　（2）　　（3）递增区间、（－，递减区间（

102、－1,0）