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《中科院量子力学超详细笔记 第五章 量子力学的表象与表示.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章量子力学的表象与表示§5.1幺正变换和反幺正变换1,幺正算符定义vv对任意两个波函数ϕ(r)、ψ(r)，定义内积∗vvv(ϕ,ψ)=∫ϕ(r)ψ(r)dr(5.1)v按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态ψ()r时，找v到粒子处在状态ϕ()r的几率幅。依据内积概念，可以定义幺正算符如下：“对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符U$恒使下式成立(Uˆϕ,Uˆψ)=(ϕ,ψ)(5.2)而且有逆算符Uˆ−1存在，使得Uˆ−1Uˆ=UˆUˆ−1=I1，称这个算符Uˆ为幺正算符。”任一算符++Aˆ的厄米算符Aˆ定义为：Aˆ在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下
2、式左边决定+(ϕ,Aˆψ)=(Aˆϕ,ψ)(5.3)由此，幺正算符Uˆ有另一个等价的定义：“算符Uˆ为幺正算符的充要条件是UˆUˆ+=Uˆ+Uˆ=I(5.4a)或者说Uˆ+=Uˆ−1。”(5.4b)证明：若+(Uˆϕ,Uˆψ)=(ϕ,ψ)成立，则按Uˆ定义，+(ϕ,ψ)=(Uˆϕ,Uˆψ)=(UˆUˆϕ,ψ)由于ϕ、ψ任意，所以Uˆ+Uˆ=I又因为Uˆ有唯一的逆算符Uˆ−1存在，假定取ϕ′=Uˆ−1ϕ,ψ′=Uˆ−1ψ，则有(ϕ,ψ)=(Uˆϕ′,Uˆψ′)=(ϕ′,ψ′)=(Uˆ−1ϕ,Uˆ−1ψ)=((Uˆ−1)+Uˆ−1ϕ,ψ)所以(Uˆ−1)+Uˆ−
3、1=I−1++−1由于(Uˆ)=(Uˆ)，上式即UˆUˆ+=I这就从第一种定义导出了第二种定义。类似，也能从第二种定义导出第一种定义。从而，幺正算符的这两种定义是等价的。1U$−1U$U$这里强调了既是对右乘的逆又是对左乘的逆。和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任U$一算符有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左U$−1逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为。982,幺正算符的性质幺正算符有如下几条性质：i,幺正算符的逆算符是幺正算符+−1−1+++−1−1−1证明：
4、设U=U，则()()U=U=U=()U,所以U也是幺正算符。ii,两个幺正算符的乘积算符仍是幺正算符.证明：设Uˆ、Vˆ是两个幺正算符，则(UˆVˆ)+=Vˆ+⋅Uˆ+=Vˆ−1Uˆ−1=()UV−1所以UˆVˆ也是个幺正算符。iii,若一个幺正算符Uˆ和单位算符I相差一无穷小，这个幺正算符被称为无穷小幺正算符。这时Uˆ可记为Uˆ=1−iεFˆ(5.5a)ε为一个无穷小参数。于是Uˆ的逆算符(准确到ε的一阶，以下同)为−1+Uˆ=1+iεFˆ(5.5b)利用Uˆ的幺正性,+++UˆUˆ=(1+iεFˆ)(1−iεFˆ)=1+iε(Fˆ−Fˆ)=1得到等式+F
5、ˆ=Fˆ(5.6)这说明，如将一个无穷小幺正算符Uˆ表示为上述形式，则其中的Fˆ为厄米算符。Fˆ也常称为幺正算符Uˆ的生成元。于是，按以下方式可以用厄米算符Ω$构造出一个幺正算符Uˆ∞1nniαΩˆUˆ=∑()iαΩˆ≡e(5.7)n=0n!这里，α为任意实数。3,幺正变换幺正算符给量子系统带来的变换称为幺正变换。具体地讲，一个幺正算符对量子系统的幺正变换包括对态的和对算符的两方面的内容：对波函数：Uˆψ≡ψ(U);(5.8a)对力学量算符：UˆΩˆUˆ−1≡Ωˆ(U).(5.8b)这两种变换必须配合使用，以保证任意几率幅在变换之后不改变，(U)(U)(U)
6、(ϕ,Ωˆψ)=(ϕ,Ωψ)(5.9)这可以检验：右边−1+=(Uˆϕ,UˆΩˆUˆ⋅Uˆψ)=(Uˆϕ,UˆΩˆψ)=(UˆUˆϕ,Ωˆψ)=(ϕ,Ωˆψ)。例如，对一个量子系统施以三维富里叶积分变换：波函数vvvvψ(r)→ψ(p)和算符Ωˆ(r)→Ωˆ(p)，正是下节常说的由坐标表象向动量表象变换，便是一种幺正变换。这时vivvdr−⋅prUeˆ=h(5.10a)∫3/2(2πh)99vivvdppr⋅Ueˆ−1=h(5.10b)∫3/2(2πh)vv注意，这里算符Uˆ是一种积分变换，其中，r为积分变数，p为参量。v因此当Uˆ和后面的算符或坐标函数作乘
7、积运算时，r必须和后面（算符v或坐标函数）的自变量取成相同并对其求积分，p作为参量保持不变vv（因此，p类似于矩阵乘积中的行标——保持固定，而r则是它的列标ˆ−1vv——与后面取一致并求和）；U的作用则相反，p为积分变数，r为参vv量（此时r为行标，p为列标）。在多个算符连乘的运算中，中间的积分变数符号在应该区别时应予区别，以避免混乱。比如vivvvvdr−⋅prvψψ()p==Urˆ()ehψ()r(5.11a)∫3/2(2πh)vivvvv−1dppr⋅vψψ()rUp==ˆ()ehψ()p(5.11b)∫3/2(2πh)vviivvvvˆˆ-1dr-p
8、 rhhdp′′pUU=e⋅e∫∫3/23/2(2π
