第五章量子力学表象和表示

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1、第五章量子力学的表象与表示§5.1幺正变换和反幺正变换1,幺正算符定义对任意两个波函数、，定义内积(5.1)按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态时，找到粒子处在状态的概率幅。依据内积概念，可以定义幺正算符如下：“对任意两个波函数、，如果算符恒使下式成立(5.2)而且有逆算符存在，使得这里强调了既是对右乘的逆又是对左乘的逆。和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地

2、写为。，称这个算符为幺正算符。”任一算符的厄米算符定义为：在任意、中的矩阵元恒由下式右方决定(5.3)由此，幺正算符有另一个等价的定义：“算符为幺正算符的充要条件是(5.4a)或者说。”(5.4b)证明：若成立，则按定义，由于、任意，所以又因为有唯一的逆算符存在，对上式右乘以，即得这就从第一种定义导出了第二种定义。类似，也能从第二种定义导出第一种定义。从而，幺正算符的这两种定义是等价的。2,幺正算符的性质幺正算符有如下几条性质：i,幺正算符的逆算符是幺正算符证明：设，则所以125也是幺正算符。ii,两个幺正算符的乘积算符仍是幺正算符.证明：设、是

3、两个幺正算符，则所以也是个幺正算符。iii,若一个幺正算符和单位算符相差一无穷小，这个幺正算符被称为无穷小幺正算符。这时可记为(5.5a)为一个无穷小参数。于是的逆算符(准确到的一阶，以下同)为(5.5b)利用的幺正性,得到等式(5.6)这说明，如将一个无穷小幺正算符表示为上述形式，则其中的为厄米算符。也常称为幺正算符的生成元。于是，按以下方式可以用厄米算符构造出一个幺正算符(5.7)这里，为任意实数。3,幺正变换幺正算符给量子系统带来的变换称为幺正变换。具体地讲，一个幺正算符对量子系统的幺正变换包括对态的和对算符的两方面的内容：对波函数：;(5

4、.8a)对力学量算符：.(5.8b)这两种变换必须配合使用，以保证任意概率幅在变换之后不改变，(5.9)这可以检验：右边。例如，对一个量子系统施以三维富里叶积分变换：波函数和算符，正是下节常说的由坐标表象向动量表象变换，便是一种幺正变换。这时(5.10a)(5.10b)注意，这里算符是一种积分变换，其中，为积分变数，为参量。因此当和后面的算符或坐标函数作乘积运算时，必须和后面（算符或坐标函数）的自变量取成相同并对其求积分，125作为参量保持不变（因此，类似于矩阵乘积中的行标——保持固定，而则是它的列标——与后面取一致并求和）；的作用则相反，为积分

5、变数，为参量（此时为行标，为列标）。在多个算符连乘的运算中，中间的积分变数的记号必须注意相互区别，以避免混乱。比如(5.11a)(5.11b)(5.12)这说明，算符将任意动量函数变为同一函数，是一个恒等变换。还有，（5.13）(5.14)由(5.13)和(5.14)式又可以得到(5.15)（5.15）式也可以换一种算法——作直接变换来得到，即由（5.13）和（5.14）式可知，在的变换下，Hamilton量改变成为。这里利用了无穷远处粒子密度为零的边条件，确切些说，利用了动量算符的厄米性条件（参见第一章第四节）。应当强调指出，量子体系在任一幺正

6、变换下不改变它的全部物理内容。这个“全部物理内容”包括：基本对易规则、运动方程、全部力学量算符方程、全部概率幅。比如，容易检验：基本对易规则在变换下确实是保持不变的，(5.16)125关于全部概率幅不变是说应当有(5.17)这里，是粒子处在态时，找到它处于态的概率幅，即上标表示它是在变换之前由坐标波函数算出的。接着，系统经受幺正变换：，，自变数成为。于是变换之后，这个概率幅应当表示为现在来证明(5.17)式：实际上，这表明任何概率幅的确没变。反过来也可以说，两个量子体系，如能用某个幺正变换联系起来，它们在物理上就是等价的。这里，“物理上等价”的含

7、义是从实验观测的角度说的。就是说，如果全部可观测力学量在两个系统中的观测值以及得到这些值的概率都对应相等，就说这两个系统在物理上是等价的，可以认为它们在物理上是相同的。因为从实验观点来看，它们之间已无区别。※4,反幺正变换反幺正变换的全名是反线性的幺正变换。为阐述其内容，我们先定义反线性算符。一个反线性算符满足(5.18)这里、为任一复常数，、为任意波函数。就是说，如将某一常数抽出算符作用之外，需要对它取复数共轭。这是与线性算符唯一的然而是极本质的差别。反线性算符的厄米共轭算符的定义是(5.19)这里，为了使定义在逻辑上自洽，中间这个内积必须要有

8、复数共轭。可作如下检查即知这一点是必须的：设想从内积的或中抽出一个复数常系数。反线性的幺正算符(反幺正算符)定义为(5.20)根据这个定