中科院量子力学超详细笔记 第六章 对称性分析和应用.pdf

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1、第六章对称性分析和应用§6.1一般叙述1，对称性的含义对称性含义有广义和狭义两种：广义来说，Einstein说，“自然界最不可理解的就是它竟然是可以理解的！”追求和理解自然界最深层次的对称性一直是物理学发展的主旋律之一。常常是对某种基本对称性的信念，激励人们去发展物理学。Weyl说：“对称性是这样一种意念，人们长年累月地试图以它去理解并创造秩序、美和完善。”狭义来说，给定系统的某种对称性是指某种不可分辨性，是对某种属性的不可观测。这就是说，在某种操作或变换下系统依然保持不变，表现为系统的Hamiltonian在这些

2、变换下保持不变。一般说，不同体系所具有的对称性不一定相同。但是，所有使体系全部物理性质保持不变的对称变换，必定构成此体系的一个对称群。研究对称性的意义：第一，构造发展理论。按Heisenberg的观点，“必须寻找的是基本对称性”。第二，增强物理直觉，利于迅速抓住问题要点，化简提法。第三，简化一些计算。不经求解Schro&&dinger方程即可得到态及本征值的某些知识。包括能级特征、矩阵元计算、禁戒规则等。2,量子力学中的对称性134无论就对称性的种类和程度来说，QM的对称性都高于CM中的对称性。CM中存在的对称性Q

3、M中也都对应存在，如时间、空间的均匀、各向同性对称性；而且，QM还存在一些CM中所没有的对称性，如全同性原理、同位旋对称性。然而，个别对称性除外，弱等效原理这种对称性在CM中存在，但在QM中被破坏，只当向经典过渡时才又逐渐显现出来。这是说，弱等效原理被量子涨落所破坏。QM中常见的对称性有一些是普遍存在的基本对称性，有一些则是特殊系统才具有的特殊对称性。从另一角度来说，有一些是严格成立的对称性，有一些则是近似成立的对称性。QM中的时间均匀性、空间均匀性、空间各向同性、同类粒子的全同性原理（或交换对称性）是普适的、严格

4、成立的基本对称性；而空间反射不变性、时间反演不变性对大部分情况都严格成立，可算是基本对称性，但毕竟不是普适的。同位旋对称性，这是一个适用范围很广的近似对称性。此外，还有各种特殊体系的各种特殊转动、反射对称性，它们属于这些体系的特殊对称性。比如中心场问题的空间旋转对称性、谐振子的空间反演不变性、各类晶体的各种特殊空间转动和反射对称性等等，这些都属于这些特殊体系的特殊对称性。按通常说法，上面这些对称性及其相应的变换划分为两类：135第一，根据相应变换是连续还是分立的来分类。比如，空间反射变换、时间反演变换、全同粒子置换

5、、晶体的对称变换等等均属于分立变换，其余的属于连续变换。第二，按照对称性涉及的是体系的内禀属性还是外在属性来分类。空间平移、时间平移、空间旋转这三个对称性是体系所处的时空性质对体系运动方式提出的要求。即时空特性对孤立体系哈密顿量的要求。严格说，由此得出的对称性并不是系统的内在属性，而是时空固有属性在体系运动行为上的体现（参见下节叙述）。与此相反，全同粒子置换对称性和同位旋空间旋转对称性等，是体系的内部对称性，反映体系的内禀属性。而空间反射、时间反演对称性，也根源于体系内部的动力学性质，也应当认为反映了体系的内禀属性

6、。3,对称性与守恒律及守恒量上面已触及了对称性和守恒律的关系问题，现在简要研究它。一个体系的对称变换U，既然使体系的全部物理性质保持不变，当然也使该体系的Hamiltonian保持不变，−1(6.1）UHU=H1于是由Wigner定理断定，U一定是个幺正变换或反幺正变换。首先，假定对称变换U是连续的。由于不存在连续的反幺正变换，只须研究幺正的情况。以前说过，一个连续变化的幺正变换U2总可以表示为1反过来不能说：一个幺正变换一定是体系的对称变换。因为许多幺正变换会改变体系的Hamiltonian形式。比如，空间转动总

7、是幺正变换，但却只有几种特殊转动，才使离子立方晶体NaCl的Hamiltonian136−iαΩU=e（6.2）这里Ω为厄米算符，α为连续变化的实参数。由（6.1）式得[]H,U=0或写为∞n∑(−iα)[]nH,Ω=0n=0n!由于α可取连续值，取α足够小，即得[]H,Ω=0（6.3）于是得到结论：如果连续变换U是量子体系的对称变换，则U的生成元（厄密算子Ω）是个守恒量。或者说，当量子体系存在一种（连续变化的）对称性，就相应地存在一个守恒律和守恒量。其次，假定对称变换U是分立的。这时幺正和反幺正的情况都存在，它们

8、都应当和体系的Hamiltonian对易，即存在[]H,U=0(6.1b)在量子力学范围内，这包括幺正的空间反射变换和反幺正的时间反演变换两种。其中，空间反射变换U又是厄密的，于是它直接就是守恒的力学量——宇称。但对于时间反演变换，由于它的反线性的性质而不存在相应的守恒量（参见附录一）。总之，一般说来，当体系存在某种对称性时，体系必定相应具有某种有规律、有秩