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1、高三一轮复习学案（选修4—4坐标系与参数方程第一节）一、知识梳理：（课前完成）1.平面直角坐标系中的伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系与极坐标(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个 O,叫做极点,自极点O引一条 Ox,叫做极轴;再选定一个 单位,一个 单位(通常取 )及其正方向(通常取__________ 方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的 叫做点M的
2、极径,记为 ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角____ 叫做点M的极角,记为 .有序数对 叫做点M的极坐标,记为 . 3.极坐标与直角坐标的互化(1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ).(2)一般取ρ≥0,θ∈[0,2π).4.直线的极坐标方程(1)若直线过点M(ρ0,θ0),且从极轴到此直线的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)= . (2)几个特殊位置的直线的极坐标方程:①直线过极点:θ=θ0和 ;②直线过点M(a,0),且垂直于极轴: ; 5.圆的极坐标方程(1)若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,
3、则圆的方程为 . (2)几个特殊位置的圆的极坐标方程:①圆心位于极点,半径为r:ρ= ; ②圆心位于M(a,0),半径为a:ρ= ; 6.曲线的参数方程定义:在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值,上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的 ,其中变数t称为 . (1)过点P0(x0,y0),且倾斜角为α的直线的参数方程为7二．考点自测：（课前完成）1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆.( )(2)
4、点P在曲线C上,则点P的极坐标一定满足曲线C的极坐标方程.( )(5)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为ρ=2asinθ.( )A.线段B.双曲线的一支C.圆弧D.射线5.(2017北京,理11)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则
5、AP
6、的最小值为 .三．关键能力：（思考预习例题，对点训练堂上讲练）例1（2016全国I卷）在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程
7、化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.解：7小结：1.无论是参数方程化为极坐标方程,还是极坐标方程化为参数方程,都要先化为直角坐标方程,再由直角坐标方程化为需要的方程.2.求解与极坐标方程有关的问题时,可以转化为熟悉的直角坐标方程求解.若最终结果要求用极坐标表示,则需将直角坐标转化为极坐标.对点训练1.（2014全国II卷）在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂
8、直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.解：小结：1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.2.若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴正半轴重合,两坐标系的长度单位相同,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化.7课堂小结：1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化思路:对于简单的,我们可以直接代入公式ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,但有时需要作适当的变化,如将式子的两边同时平方,两边同时乘ρ等.2.如果要判断极坐标系中曲线的形状,我们可以先将方程化为直
9、角坐标方程再进行判断,这时我们直接应用x=ρcosθ,y=ρsinθ即可.3.参数方程化普通方程常用的消参技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等,经常用到公式:cos2θ+sin2θ=1,1+tan2θ=等.4.利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便,是我们解决这类问题的好方法.5．对于极坐标和参数方程的问题,既可以通过极坐标和参数方程来解决,也可以通过直角坐标解决,但大多数情
