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1、第4章稳定性分析与李雅普诺夫方法经典控制中的稳定性:李亚普诺夫稳定性:适用于线性时不变系统（方法很多、成熟）适用于各类系统:线性，非线性，时变，时不变4.1李亚普诺夫稳定性定义一、范数定义：状态空间中两个向量的距离几何含义0x1xe1xe10x1xe2x2二、系统的平衡状态（1）定义系统状态不随时间发生变化（2）求解：f(xe,t)=0（3）特点线性定常系统：A为非奇异矩阵时，有唯一的平衡状态。Xe=0A为奇异矩阵时，平衡状态不唯一，非线性系统：可能有多个平衡状态（4）平衡点与坐标原点平衡点——不唯一坐标原点——唯一三、李亚普诺夫稳定性定义稳定性分类①稳定②渐近
2、稳定③大范围渐近稳定④不稳定关键：稳定、渐进稳定（收敛于xe）、大范围渐进稳定(所有x0收敛于xe)、一致稳定(与t0无关)。严格定义几何含义物理含义几个注意问题1稳定（1）定义对于给定的系统，如任意给定实数ε>0，都存在另一实数δ(ε,t0)>0，使当
3、
4、x0-xe
5、
6、≤δ时，从任意初态出发的解Φ(t,x0,t0)都能满足
7、
8、Φ(t,x0,t0)-xe
9、
10、≤ε那么系统在平衡状态是稳定的。（2）几何含义εδxex02不稳定（1）定义对于给定的系统，如任意给定实数ε>0，都存在另一实数δ(ε,t)>0，使当
11、
12、x0-xe
13、
14、≤δ时，总存在一个初始状态x0，使得
15、
16、
17、Φ(t,x0,t0)-xe
18、
19、>ε那么系统在平衡状态xe是不稳定的。（2）几何含义（3）物理含义εδxex0比较εδxex0εδxex0εδxex03应注意的几个问题对线性系统来讲，任意一个孤立的平衡状态都可以通过坐标变化转移到状态空间的原点。因此分析坐标原点的稳定性具有代表意义。对非线性系统来讲，如果具有多个平衡状态，各平衡状态的稳定性有可能不同。因此应对每个平衡状态分别进行分析。稳定和渐近稳定有很大的区别。经典控制理论中，只有渐近稳定的系统才是稳定的。对线性系统而言，如果平衡状态是渐近稳定的，那么也一定是大范围渐近稳定的。4-2李雅普诺夫第一法4.3李亚普诺
20、夫第二方法一、二次型函数的基本概念1定义：标量函数的各项最高次数不超过2次2表达式：3矩阵表达二、标量函数的定号性1定号性的定义当x=0时，v(x)=0；当x≠0时，如果v(x)>0，那么v(x)为正定；如果v(x)≥0，那么v(x)为正半定；如果v(x)<0，那么v(x)为负定；如果v(x)≤0，那么v(x)为负半定；对二次型函数：2二次型标量函数的定性判别(充要条件)正定：A的各阶主子式行列式大于零，即Δk>0（赛尔维斯特准则）正半定:A的各阶主子式行列式大于或等于零，Δk≥0负定：A的各阶主子式行列式正、负交替出现，即当k=1,3,…n-1,时，Δk<0当
21、k=2,4,…,n,时，Δk>0负半定：A的各阶主子式行列式符号交替出现，即当k=1,3,…n-1,时，Δk≤0当k=2,4,…,n,时，Δk≥0三、李氏函数起源：能量系统定义：与二次型函数、标量函数的区别四、李氏第二法稳判如果存在一个具有连续一阶偏导数的能量函数满足：能量函数正定；能量函数导数负定。则，在原点处的平衡状态是一致渐进稳定的。4-3李雅普诺夫第二法例题4-4非线性方程,分析平衡状态的稳定性那么平衡状态是大范围渐近稳定的.负定解:求平衡状态xe唯一平衡状态在原点选择正定的v(x)4-3李雅普诺夫第二法例题4-4非线性方程平衡点状态轨迹几种情况1v(x
22、)正定负定渐近稳定2v(x)正定负定大范围渐近稳定3v(x)正定负半定渐近稳定4v(x)正定负半定稳定5v(x)正定正定不稳定εδxex04-3李雅普诺夫第二法例题4-5系统状态方程,分析平衡状态的稳定性渐近稳定?.半负定平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的.解:求平衡状态xe唯一平衡状态在原点选择正定的v(x)4-3李雅普诺夫第二法例题4-5系统状态方程,分析平衡状态的稳定性另选不恒等于零平衡状态xe大范围渐进近稳定的.4-3李雅普诺夫第二法对李雅普诺夫函数的讨论没有一般的方法找到李雅普诺夫函数;是稳定的充分条件，不是必要条件；李雅普诺夫函数不是唯一的,但不
23、影响结论;最简单的形式是二次型;主要用于复杂问题,非线性系统,时变系统.4-4李雅普诺夫方法在线性系统中的应用平衡状态xe=0为大范围渐近稳定的充要条件是:对任意给定的正实对称矩阵Q,必存在正定的实对称矩阵P,满足李雅普诺夫方程线性定常连续系统的渐进近稳定判据是系统的李雅普诺夫函数并且判断步骤Step1:确定系统平衡状态Step2:确定Q和P的形式Step3:根据计算P矩阵的各元素Step4:判断P的正定性，如果P为正定，那么系统是渐近稳定的P为正定的实质：4-4李雅普诺夫方法在线性系统中的应用解:零点为平衡状态例题:4-9分析系统平衡状态的稳定性解出P正定,系
24、统的平衡点是大范围渐近稳
