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1、球的体积与表面积江北中学曹新田掌握球的体积、表面积公式．掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养学生应用数学的能力．能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题．学习目标:R高等于底面半径的旋转体体积对比一、球的体积学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长
2、分别是.当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式．即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．分割求近似和化为准确和问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.AOB2C2AOOROA例1:钢球直径是5cm,求它的体积.(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是答
3、:空心钢球的内径约为4.5cm.由计算器算得:(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?用料最省时,球与正方体有什么位置关系?球内切于正方体侧棱长为5cm(变式3)把正方体的纸盒装入半径为4cm的球状木盒里,能否装得下?半径为4cm的木盒能装下的最大正方体与球盒有什么位置关系?球外接于正方体2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为＿＿＿cm3.83.有三个球,一球
4、切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________.1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍.练习1:2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块,每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块
5、平面面积之和接近于甚至等于球的表面积.球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式．二、球的表面积第一步：分割球面被分割成n个网格，表面积分别为：则球的表面积：则球的体积为：OO第二步：求近似和由第一步得：OO第三步：化为准确和如果网格分的越细,则:“小锥体”就越接近小棱锥OOABC例2:已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等
6、于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，OABC例2:已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______.练习2:1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍.2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍.3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是___.7.将半径为1和2的两个铅球，熔成
7、一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是______.6.若两球表面积之差为48π,它们大圆周长之和为12π,则两球的直径之差为______.练习2:5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为，则它的外接球的表面积为_____.了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割→求近似和→化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法—极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；熟练掌握球的体积、表面积公式：课堂小结朋友再见
