垂线定理及逆定理课件曹新田.ppt

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1、9.4.4三垂线定理及逆定理(2)岁月如水流到什么地方就有什么样的时尚我们怎能苛求世事与沧桑高2012级15班曹新田三垂线定理的逆理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。线射垂直线斜垂直定理逆定理线射垂直线斜垂直定理逆定理三垂线定理及逆定理涉及的几何元素：(1)一个平面;a(2)四条直线:①平面的垂线;②平面的斜线;③斜线在平面内的射影;④平面内的一条直线.(3)三个垂直:①直线与平面垂直;②平面内的一

2、条直线与斜线在平面内的射影垂直;③平面内的一条直线与斜线垂直.1、两平行直线在一平面内的射影不可能是（）A、两平行直线B、两点2、两直线在平面内的射影是两相交直线，则这两直线的位置关系不是（）A、两异面直线;B、两平行直线C、两相交直线;D、以上都不对巩固练习：DB3、斜线b在面α内的射影为c，直线a⊥c，则a与b（　）A．垂直B．不一定垂直C．共面或垂直D．以上都有可能C、一条直线D、两相交直线D例1：在空间四边形ABCD中AB⊥CD,AH⊥平面BCD,垂足为H,求证:BH⊥CD.AB∴BH⊥CD.∵AB⊥CD.证明:∵AH⊥平面BCD，∴BH为

3、斜线AB在平面BCD上的射影.DCH平面BCD，∵CD应用三垂线定理及逆定理证明直线垂直的步骤:“一垂”:找平面及平面的垂线“一垂二射三证明”“二射”:找斜线在平面上的射影“三证明”:用定理证明直线垂直例2：如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，AQ⊥PC，AR⊥PB，试证∆PBC、∆PQR为直角三角形。证明：∵PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∴AC⊥BC，AC是斜线PC在平面ABC的射影，∴BC⊥PC（三垂线定理），∴∆PBC是直角三角形；∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内，∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ，∴AQ⊥平面PBC，∴

4、QR是AR在平面PBC的射影，又AR⊥PB，∴QR⊥PB（三垂线逆定理），∴∆PQR是直角三角形。小结：凡是能够使用三垂线定理或逆定理证明的结论，都能由线面垂直的性质来证明，而我们的目标应该是能够熟悉这两个定理的直接应用。例3：道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？解：在道边取一点C，再在道边取一点D，使水平角CDB等于45°，测得C、D的距离等于20mBAC90°D45°使BC与道边所成水平角等于90°，BAC90°D45°∵BC是AC的射影且CD⊥BC∴CD⊥AC∵∠CDB=45°，CD

5、⊥BC，CD=20m∴BC=20m，在直角三角形ABC中AC2=AB2+BC2，AC=152+202=25(m)答：电塔顶与道路的距离是25m。因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。例4：直角三角形ABC中，∠B=90°，∠C=30°，D是BC的中点，AC=2，DE⊥平面ABC且DE=1，求E到斜线AC的距离？解：过点D作DF⊥AC于F，连结EF，∵DE⊥平面ABC，由三垂线定理知EF⊥AC，即E到斜线AC的距离为EF，在Rt∆ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=2，∴BC=∵DF⊥AC，∴在Rt∆EDF中为所求练习：PA⊥△ABC所在

6、平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，求点P到直线BC的距离．解：设BC的中点为D，连结PD．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AD⊥BC．且AD＝12．又∵PA⊥平面ABC，∴PD⊥BC．即PD的长度就是P到直线BC的距离．而PD＝13．小结：求点到直线的距离，常运用三垂线定理（或逆定理）把垂线段作出，按“一作、二证、三计算”的步骤求解。方法规律：三垂线定理及其逆定理的应用：（1）证明两条异面直线垂直；（2）确定二面角的平面角；（3）确定点到直线的垂线段。运用定理时要习惯非常规位置图形上的应用，不能只习惯于水平放置的平面上运用。能力

7、拓展：1、如图所示：已知直三棱柱ABC-DEF中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，，M是CF的中点，求证AE⊥DM。证明：连结AF，∴Rt∆AFC∽Rt∆MDF，∴∠AFC=∠MDF，∴∠DMF+∠AFC=∠DMF+∠MDF=90°，∴DM⊥AF，又ABC-DEF为直三棱柱，∴CF⊥EF，又EF⊥DF，∴EF⊥平面AF，由三垂线定理知AE⊥DM能力拓展：2、过Rt∆BPC的直角顶点P作线段PA⊥平面BPC，求证：∆ABC的垂心H是P点在平面ABC内的射影。证明：∵H是∆ABC的垂心，　　　　　　　　　　连结AH延长交BC于D，　　　　

8、　　　　　　　　　连结BH延长交AC于E，　　　　　　　　∴AD⊥BC，BE⊥AC，∵AP⊥平面PBC，∴BC⊥PD，AD