《垂线定理和逆定理》PPT课件.ppt

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1、三垂线定理aAPoα线面垂直的判定定理线线垂直线面垂直线面垂直的定义复习：什么叫平面的斜线、垂线、射影？如果aα,a⊥AO，思考a与PO的位置关系如何？PO是平面α的斜线,O为斜足;PA是平面α的垂线,A为垂足;连结垂足与斜足，AO是PO在平面α内的射影.aAPoα性质定理判定定理性质定理线面垂直①线线垂直②线面垂直③线线垂直PO平面PAOa⊥PO③三垂线定理：在平面内的一条直线(a)，如果和这个平面的一条斜线(PO)的射影(AO)垂直，那么它(a)也和这条斜线垂直。PA⊥αaα①PA⊥aAO⊥aPA∩AO=A②a⊥平面PAOPaAoα已

2、知:如图,PO为平面α的斜线,PA⊥α,a在平面α内且垂直PO的射影AO.求证:a⊥PO证明:直线a在一定要在平面内，如果a不在平面内，定理就不一定成立。PAOaα例如：当b⊥时，b⊥OA如果将定理“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b但b不垂直于OP思考?三垂线定理：在平面内的一条直线(a)，如果和这个平面的一条斜线(PO)的射影(AO)垂直，那么它(a)也和这条斜线垂直。练习：判定下列命题是否正确(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b。()2°定理的关键找“平面的垂线”.强调：1°四线是对同一个平面而

3、言.(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。()××aAPoα1、三垂线定理描述的是斜线、射影、直线之间的垂直关系.2、a与PO可以相交，也可以异面.3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.说明：4、转化思想:空间两直线的垂直问题转化为平面内两直线的垂直问题.aAPoα例1、PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD证明:∵ABCD为正方形O为BD的中点∴AO⊥BD同理，AC⊥BDAC是PC在ABCD上的射影∴PC⊥

4、BDPO⊥BD∴AO是PO在平面ABCD上的射影∴PA⊥平面ABCD∵BD平面ABCD又PMCAB例2、已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AM证明:PM⊥BC∴BC⊥AM∴PM是AM在平面PBC上的射影∴PA⊥平面PBC∵PB=PCM是BC的中点∵BC平面PBC又例3、在正方体AC1中，求证：A1C⊥BC1，A1C⊥B1D1∵在正方体AC1中A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影CBA1B1C1ADD1证明：CBA1B1C1ADD1同理可证，A1C⊥B1D1由三垂线定

5、理知A1C⊥BC1PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件三垂线定理解题的关键：找三垂！注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件PAOaα从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂、二射、三证。即第一、找平面(基准面)及平面垂线第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与一条斜线。第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。PAOaα三垂线定理包含几种垂直关系？②线射垂直PAOaα①线面垂直③线斜垂直PAOaα直线和平面垂直平面内的直线和平

6、面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直线射垂直线斜垂直PAOaαPAOaα平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理？在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。PAOaα已知：PA，PO分别是平面的垂线和斜线，AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求证：a⊥AO三垂线定理的逆定理例4、空间四边形ABCD中，AB垂直于CD，BC垂直于AD，求证：AC⊥BD。证明：过A作AO⊥平面BCD于O，连结BO，∵AB是平面BCD的斜

7、线，∴AO是AB在面BCD内的射影∵AB⊥CD，∴CD⊥BO（三垂线逆定理），同理可得BC⊥OD，则O为∆BCD的垂心，∴BD⊥OC，∵OC是AC的射影，∴BD⊥AC（三垂线定理）。OADBC三棱锥对棱垂直，顶点在底面上的射影是底面的垂心直线与平面所成的角：PO是平面α的斜线,O为斜足;PA是平面α的垂线,A为垂足;AO是PO在平面α内的射影.aAPoα直线PO与射影AO所成的角∠POA即为直线与平面所成的角。直线与平面所成的角的范围：[0°,90°]三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂

8、直。小结三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”1°定理中四条线均针对同一平面而言2°应用定理关