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时间:2020-03-01
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1、“一题十二解”看辅助平行线的添加湖北徐涛在《相似形》一章中,添加辅助平行线解题是必须要掌握的一个重点.许多同学在学习时往往不知添加什么样的辅助线能达到目的、什么样的辅助线在解题时比较简单、什么的辅助平行线具有普遍的解题效果.本文通过一道题的十二种解法来具体探讨以上问题.例如右图所示,已知△ABC中,BD∶DC=3∶2,AF∶FD=2∶1,求AE∶EC.(一)过点D添加平行线解法1:如图1所示,过D作DG∥AC交BF于G.∵DG∥EC,DG∥AE,∴∴∴解法2:如图2,过D作DH∥BE交AC于H(具体解法较容易).(二)过点E添加
2、平行线解法3:如图3所示,过点E作EI∥BC交AD于I.∵IE∥BD,IE∥DC,∴∴∴∴∴解法4:如图4所示,过点E作EJ∥AD交BC于J(具体解法较复杂).(三)过点F添加平行线解法5:如图5所示,过点F作FK∥BC交EC于K(具体解法较复杂).解法6:如图6所示,过点F作FL∥AC交DC于L(具体解法较复杂).(四)过点A添加平行线解法7:如图7所示,过点A作AM∥BC交BE延长线于M.∵AM∥BC,∴∴∴解法8:如图8所示,过点A作AX∥BE交CB的延长线于X(具体解法较容易).(五)过点B添加平行线解法9:如图9所示,
3、过点B作BY∥AD交CA的延长线于Y(具体解法较复杂).解法10:如图10所示,过点B作BN∥AC交AD的延长线于N(具体解法较复杂).(六)过点C作平行线解法11:如图11所示,过点C作CO∥AD交BE的延长线于O.∵AD∥CO,∴∴∴解法12:如图12所示,过点C作CP∥BE交AD的延长线于P(具体解法较容易).通过以上的求解可以发现,解法1、2、7、8、11、12较简单(对于没有求解的,大家可以自己动手试验).为什么呢?因为这几种辅助线的添加方法可以快捷地得到AE:EC的比例关系,并且最大限度的保留了已知条件BD:DC、A
4、F:FD在平行线中的比例关系,所以在解决问题时显得较为简洁.因此,我们可以知道,在添加相关的平行线时,应尽量使所求结论的比例关系快捷地展现在平行线中,且最大限度地保留已知条件尤其是比例关系在平行线中的简洁展现.如果上例改求BF:FE,则也有十多种方法.这里不再详述.当然,可能有人会问,如果题目同时求解AE:EC和BF:FE,则哪几种平行线的添法能同时使两个结论的求解都相对简捷呢?参照本文的分析可以知道:解法1,11,12能较快捷地同时解决这两个问题.
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