单位球面和双曲空间中的旋转曲面.pdf

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1、RoTATIoNALSUREACESINTHEUNITSPHEREANDTHEHYPERBOLICSPACEADissertationSubmittedtotheGraduateSchoolofHenanNormalUniversityinPartialFulfillmentoftheRequirementsfortheDegreeofMasterofScienceByLiYuxianSupervisor：Prof．LiXingxiaoApril，2014摘要在本文中，我们主要研究单位球面和双曲空间中的旋转曲面

2、，讨论三类问题．在第一章中，我们首先介绍本文的研究背景，然后给出子流形的一些基本知识和日3中旋转曲面的相关概念．在第二章中，我们主要研究S卅1中有两个主曲率且其中一个主曲率重数是1的超曲面．利用文献[7]的方法，可以得到曲面的表达式．文献【11】研究的是S3中的常平均曲率曲面．由于S3和日3空间的相似性，在第三章中，利用研究S3中的常平均曲率曲面的问题的方法对日3中的三种常平均曲率旋转曲面是否必为嵌入进行了研究并得到了相应的结果。关键词：旋转曲面，对称性，单位球面，双曲空间．IIABSTRACTInthispa

3、per，wemainlystudyrotationalsurfacesintheunitsphereandthehyper-bolicspaceanddiscussthreeproblems．Inthefirstchapter，weintroducetheresearchbackgroundofthispaper，somebasictheoriesofsubmanifoldsandthedefinitionofrotationalsurfacesinhyperbolicspaceH3．Inthesecondch

4、apter．westudythehypersurfacesinS“+1whichhavetwoprinciplecurvaturesoneofwhichisofmultiplicity1．Usingthemethodofliterature[7]，wecanexpressthishypersurfaces．Theliteraturef111studiessurfacesofconstantmeancurvatureinS3．BecausethespacesS3andH3aresimilar，wemakeuseo

5、fthemethodofliterature[11]inthethirdchaDtertostudytherotationalsurfaceswithconstantmeancurvatureinH3andproVethatthevareembedded．KEYWORDS：Rotationalsurface，Unitsphere，Symmetry，Hyperbolicspace．IIIIV摘要ABSTRACT目录第一章绪论1．1研究背景．．．．．．．．．．．．．1．2预备知识．．．．．．．．．．．．．第二章Sn

6、+1中常平均曲率超曲面2．1主要定理及证明．．．．．．．．．第三章日3中的旋转曲面153．1相关定理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．153．2主要定理及证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．20参考文献致谢独创性声明关于论文使用授权的说明252729VI127ⅡVI第一章绪论第一章绪论本章主要讲述了本篇论文的研究背景和相关的预备知识。§1．1研究背景微分几何是一门历史悠久的基础学科．在前人经验的积累下，十七世纪中叶，牛顿和莱布尼茨分别创立

7、了微积分学．微积分诞生之后，微分几何也就随之产生．古典微分几何主要把微分和积分作为工具，来研究3维空间中曲线和曲面的性质．而现代微分几何运用拓扑、方程、泛函分析，李群等工具分析高维空间中曲线和曲面的性质，它在物理及工程等学科中有着广泛的应用．单位球面和双曲空间是黎曼几何中具有特殊性质的两个空间．在黎曼几何中，很多问题放在单位球和双曲空间中研究能得到很好的结果．旋转曲面作为一种特殊的曲面，有着很好的对称性．对旋转曲面的研究，有利于我I'IID深对相关知识的理解。在经典微分几何中，已经给出了3维空间中在普遍意义下旋

8、转曲面的定义．1982年，M．Dajczer和M，DoCarmo在文献【8】中给出了在普遍意义下高维双曲空间和球空间中的旋转曲面的定义，并对常平均曲率的旋转曲面进行了研究．此后，关于常平均曲率曲面的研究有很多漂亮的结果．1970年，Lawson提出了著名的Lawson猜想，他指出Clifford环面是铲中唯一紧致嵌入环面．2012年，S．Brendle证明了Lawson猜想【9]同时证