单位球面上具有平行仿Blaschke张量的超曲面

《单位球面上具有平行仿Blaschke张量的超曲面》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、目录第一章引言及主要结果……………………………………………1第二章单位球面n1S上超曲面的Möbius不变量…………………4第三章例子…………………………………………………………7第四章分类定理的证明……………………………………………14参考文献………………………………………………………………18致谢………………………………………………………………20III赣南师范学院硕士学位论文第一章引言及主要结果nn1n1设x:MS是(n+1)-维单位球面S上不含脐点的超曲面，e是关于i诱导度量Idxdx的标准正交基，i是其对偶基。IIh

2、是x的第i,jijij221二基本形式，其长度平方为II（h），Hh为x的平均曲率。i,jijiiin2n22n1(IInH),0称为x的Möbius因子。文[1]定义了在S的n1Möbius变换群下浸入x的四个基本不变量，它们分别是Möbius度量2gdxdx，Möbius形式iCii，Möbius第二基本形式22BBijiji和jBlaschke张量AAijijij,其中2Ci[H,i(hijHij)ej(log)],(1.1)j1B(hH),(1.2)ijijij

3、2A[Hess(log)e(log)(log)eHh]ijijijij1222(1.3)(log1H)ij2其中，Hess和分别表示关于度量dxdx的Hess矩阵和梯度。这些不变量与共ij形微分几何中的Willmore子流形等一系列有趣问题密切相关，近年来对它们的研究取得了较大的进展。浸入x的Möbius第二基本形式是最重要的Möbius不变量，由它诱导了1Möbius形状算子:(SHid)，其中S表示x的Weingarten算子，id表示恒同变换。如果0,的特征值(称为Möbius主曲率)为常数，则称

4、超曲面x为n1Möbius等参超曲面。显然，S的欧氏等参超曲面必是Möbius等参超曲面，但其逆不真。因此，对Möbius等参超曲面的分类就成为Möbius微分几何的重要研究课题。文[2]证得紧致Möbius等参超曲面互异主曲率的个数为2,3,4,6，且对n1具有两个Möbius主曲率的Möbius等参超曲面进行了分类，文[3]对S中具有平行Möbius第二基本形式的超曲面进行了分类，得到了一个Möbius第二基本形式平行且具有三个互异Möbius主曲率的Möbius等参超曲面新例子。文-1-赣南师范学院硕士学位论文456[4],[5],[6]分别对S、

5、S和S上的Möbius等参超曲面进行了完全分类。浸入x的Blaschke张量是另一个重要的Möbius不变量，如果0,Blaschke张量的特征值均为常数，则称超曲面为Blaschke等参超曲面。研究Blaschke等参超曲面的分类成为Möbius微分几何的又一重要课题。在这一方面，文[7]对Möbius迷向子流形进行了分类，文[8]对具有两个互异常数Blaschke特征值的Blaschke等参超曲面进行了完全分类。nn1文[9]对满足条件0,ABg0的不含脐点的超曲面xM:Sn进行了分类，这里和都是定义在M上的可微函数，这是Möb

6、ius迷向超曲面的推广，称之为广义Möbius迷向超曲面。本文的目的是考虑Möbius第二基本形式B和Blaschke张量A的组合，记DAB,这里是常数。D是一个对称的(0,2)-张量，显然它是一个Möbius不变量（当0时，D就是Blaschke张量），称之为仿Blaschke张量。文[10]分类了仿Blaschke张量具有两个常数特征值的超曲面。本文研究具有平行仿Blaschke张量的超曲面，证明了如下分类定理：nn1n1分类定理：设x:MS(n2)是(n+1)-维单位球面S上不含脐点的超曲面，0,对某常数，AB是平行的，那

7、么x是Möbius等价于下列超曲面之一：n1(1)S中具有常数平均曲率和常数数量曲率的超曲面；n1(2)R中具有常数平均曲率和常数数量曲率的超曲面在映射下的像；n1(3)H中具有常数平均曲率和常数数量曲率的超曲面在映射下的像；~~~~~~mnmn1(4)超曲面x(,xx):MH()rS，其中xy/yx,y/yy,R,1211102200~m2nmmm12myR,yR,2mn1,r0.这里，yM:S()rR是半径1211m1为r的(m+1)-维球面Sr()中不含脐点的具有常数平均曲率H和常数数量1曲率R的至

8、少具有两个非零主曲率的超曲面，且1nmm(1)n