单位球中完备超曲面的一个刚性定理-论文.pdf

《单位球中完备超曲面的一个刚性定理-论文.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、数学杂志Vo1．34(2014)J．ofMath．(PRC)NO．4单位球中完备超曲面的一个刚性定理张士诚(江苏师范大学数学科学学院，江苏徐州221116)摘要：本文研究了单位球中的数量曲率满足r=aH+b的完备超曲面的问题．利用极值原理的方法，获得了超曲面的一个刚性结果，推广了这一类具有常中曲率或者常数量曲率超曲面的结果．关键词：单位球；数量曲率；全脐超曲面MR(2010)主题分类号：53C42；53C24中图分类号：O186．12文献标识码：A文章编号：0255—7797(2014)04—0804051引言关于单位球面“(1)中具有常平均曲率或者常数量

2、曲率超曲面的研究内容非常丰富．1969年Nomizu—Smyth证明了球中具有非负紧致子流形是标准球或者是两个球的乘积；Yano和IshiharaSmyth[】和Yau[。]分别推广了这个结果．为了更好的研究常数量曲率超曲面，Cheng—Yau[]引入了一个新的自伴随微分算子口．最近，Liu[】与Li[6】分别利用自伴随算子口研究了单位球面上的超曲面．在本文，我们以Cheng—Yau的算子口为基础，改进了算子口，研究了单位球面+(1)上的完备超曲面，得到如下结论：定理设M是单位球面Sn+(1)上n一维完备超曲面，其标准数量曲率r与平均曲率H满足r=aH+b

3、，a0且(n一1)a一4n+4nb0．如果第二基本形式模长平方满足supS<2、／／rn一1，那么M是全脐超曲面．注1定理条件修改了一般研究球面上超曲面具有常数量曲率或者常中曲率这个条件．注2定理中，若a=0，球面上超曲面则是具有常数量曲率超曲面．2准备知识设是单位球Sn+1(1)中n一维超曲面，对任意点x∈M，在单位球sn+l(1)中选取正交标架场{e1，e，⋯，en+1)，使限制在M上时，{e，e2，⋯，e)是M切向量场，e+是其法向量．设{，。，⋯，+)是对偶标架场．为了方便，对指标的范围使用下列约定：1A，B，C，⋯n+1，1i，J，k，···礼．

4、对于单位球S叶(1)中的超曲面M，其结构方程为=∑八一∑，．1Riykl=c一2妨+hikhjt—hilhjk．收稿日期：2012—1025接收日期：2013—01—22基金项目：国家自然基金资助f61271002)．作者简介：张士诚(1974一)，男，江苏徐州，副教授，主要研究方向：微分几何与信息几何N0．4张士诚：单位球中完备超曲面的一个刚性定理故有n(佗一1)(r一1)=n2H一S札其中R!是M的黎曼曲率分量，h=hij为第二基本形式，S=∑(his)为第二基本形式i，J=1nh模长平方，H=∑hiten+1为平均曲率．i=11分别用hijk和hij

5、kz表示hij一阶与二阶协变微分，得∑hdht，+∑h幻+∑h(2．2)kk∑=dh+∑h咄+∑hJ+mmimm故Ricci恒等式为hijkt—h~jlk=∑hmjRmikl+m∑m仡超曲面M的第二基本形式的Laplacian定义为△巧=∑h~ykkm：1选择局部标架场{e)使得hij=AiSij，则Rm△(∑)+∑hhz，Ji,j，k1=∑+∑(n日)1∑(九一入J)R，(2．3)i,j，kii,j根据文献[4]，我们修改了Cheng—Yau提出的算子口，并将其作用在M上的一个。一函数．厂n一1口．厂=∑(nil5一)。(2．4)0，J故在点处，有口(佗

6、H)=n日△(礼日)一∑(n日)一Tn-1。△(nH)1)r)=去△s-Tt2IVHI一∑删(2．5)将(2．3)式代入(2．5)式得5(nH)=}I。一Tt2f日f。+一)R弼(2．6)由Gauss方程，有R：1+i，并将其代入(2．6)式得口(n日)=【I。一n2I日l。+n—n。H。一S+nH∑A(2．7)数学杂志由第二基本形式模长平方的定义，可以得到s=∑．设=H一，我们可以得到i∑=0，I~1=∑；=—nH。，(2．8)JJ∑nH。+3H∑一∑．(2．9)iii引理2·1设1，⋯，n是满足∑t0的实数，且∑B(B为大于零帚数)，贝0ii有JlB成

7、立，其中等号成立当且仅当一．．．．／-~n-1一一√、／1=B，”=、V／由引理2．1，可以得到nH∑=nil(nil。+3H∑一∑)>3埘I~12"}-n2H4-n(2．10)为了证明定理，我们还需要下列引理．引理2．2【6】设M是单位球Sn+f1)上超曲面，r=aH+b，(n一1)n—4n+4nb0．则IVhlnIVHI，(2．11)其中n(n一11r是M的数量曲率，H是平均曲率．故由(2．7)，(2．10)式和引理2．2，得口(他日)II[犯一I『。一n1日’JJ+钆日。]．(2．12)引理2．3Is]设是截曲率有下界的n一维完备黎曼流形，，：M—是

8、M上有上界的光滑函数．则M上存在一个点列{)，使得，limt厂)：