曲面论曲面上曲线的曲率(六)

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1、微分几何教案（十四）曲面的第二基本形式：3.2—3.33.2曲面上曲线的曲率上面介绍了曲面的第二基本形式，它是曲面到其切平面有向距离的2倍，它刻画了曲面的弯曲性。曲面在一点沿不同方向弯曲程度不同，或说曲面离开切平面的速度不同。这个弯曲性可由曲面在一点沿这个方向的一种曲率（即法曲率）来刻画。为介绍法曲率，我们先看曲面上的曲线在一点的曲率。一曲面上任一曲线的曲率2设C类曲面S：rruv(,)，P(u,v)为其上一点，S上过P点的一曲线（C）方程为u=u(s),v=v(s)，或rrsrusvs()[(),()]，S

2、为曲线(C)的自然参数，(C)在P点的曲率为k，则有cos，其P中为曲线(C)在P点的主法向量与曲面在P点的单位法向量n的夹角。n证设,为曲面上曲线(C)：rrs()在P点的单位切向量与主法向量，则rr,,rnncos。222rndsLdu2MdudvNdv另一方面rn，所以cos=。222dsEdu2FdudvGdv说明：对于曲面上已给定点和曲面曲线在该点的切方向，上式

3、右端都有确定的值。因此若在曲面上一个给定点给出相切的两条曲面曲线，且它们有相同的主法向量，则它们的主法向量与曲面在这点的法向量所成的角度也相同，所以据上式，它们的曲率k也相同。特别21微分几何教案（十四）曲面的第二基本形式：3.2—3.3的，曲线(C)在P点的密切平面与曲面的交线就与(C)在P点有相同的切线和主法线,所以曲率相同。因此对于曲面曲线曲率的研究可以转化为这曲面上一条平面截线的曲率的讨论。所以这一小结讨论的是曲面在一点沿一方向的不同曲线，曲面离开切平面的速度。二曲面上法截线的曲率给出曲面S上一点P和P点处的一个

4、方向(d)=du:dv,设n为曲面在P点的单位法向量，则由P和(d)、n确定的平面称为曲面在P点的沿方向(d)的法截面，这法截面与曲面的交线称为曲面在P点沿方向(d)的法截线。设曲面在P点由方向(d)所确定的法截线为()C，()C在P点的曲00率为0，由于()C0的主法向量0n,0或，所以0（>0）为=。当n与同向，即法截线向n的正向弯曲时，取“+”，00n与0反向，即法截线向n的反向弯曲时，取“－”。nn0du:dvdu:dv(C)0(C)0022微分几何教案（十

5、四）曲面的第二基本形式：3.2—3.3可见，曲面上一点在一方向上的弯曲性仅由（>0）还不能完0全确定，还要考虑曲面的弯曲方向，因此再引入法曲率的概念。三法曲率定义曲面在给定点沿一方向du:dv的法曲率记为，定义为n当法截线向n的正侧弯曲0n当法截线向n的反侧弯曲0注：1.由定义及，得；0n2.n的绝对值是法截线的曲率0。n不仅刻画了曲面在P点沿方向du:dv的弯曲程度，还说明了弯曲的方向：曲面向正侧弯曲时>0；曲面向负侧弯曲时<0.nn3.由前面例题知，半径为R的球面上

6、任一点处沿任意方向的法11曲率n或n；平面上每一点处沿任意方向的法曲率为n0；RR4.设曲面上过曲面上一点P的一曲线()C和过P与()C相切的法截线为()C，()C与()C相切的方向是du:dv，()C在P点的曲率为k,00曲面在P点沿方向du:dv的法曲率为n，则由cos和n可得ncos。由此可知，曲面曲线的曲率都可以转化为法曲率来讨论。5.设法截线在P点向n的正向弯曲,则n0,这时n0。则11法截线()C的曲率半径R。在P点曲线()C的曲率半径R。则0n0

7、由ncos知RRncos。RRcos的几何意义可以由梅尼埃定理表述。n23微分几何教案（十四）曲面的第二基本形式：3.2—3.3四梅尼埃定理定理曲面曲线()C在给定点P的曲率中心就是在P点与曲线()C具有共同切线的法截线()C的曲率中心C在曲线()C的密切平面上00的投影。例如若给出的曲面是球面，球面的切平面垂直于过切点的半径，这个半径就是球面的法线。所以球面的所有法线过它的球心。因此在球面的每一点处所取的法截面必过球心。由此推出所有法截线是大圆，且任意法截线()C的曲率中心C就是这个球面的中心.另一方面,0

8、0若取球面的任意平面截线为()C,则所得到的()C是圆,因此()C的曲率中心是这个圆的圆心（如图）.现在从()C的曲率中心C(也C00即球心)作圆()C所在平面的垂()CC()C00线,则垂足是圆()C的圆心,也就是曲线()C的曲率中心C。习题：P1144,5思考：624微分几何教案（十四