曲线和曲面上的积分

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1、曲线和曲面上的积分场论1基本概念梯度场:设是Rn上的一个光滑实值函数(纯量场),自然给出了上的一个向量场,也记为,它称为的梯度场,简称梯度场;散度场:设F是Rn上的光滑向量场.上的数量场称作F的散度(场),也记作divF=·F2基本概念(续)旋度场:设F=(P,Q,R)是R3上的一个光滑向量场.向量场称作F的旋度(向量场),也记成rotF=F记号(读作nabla)也称作梯度算子,把它理解为3梯度场的意义设是Rn上的一个光滑实值函数(纯量场),是其梯度场.也记作grad.的基本意义是给出了在的各点最大的方向导数的值及其方向;

2、给出了的等高面(x)=c上的法向量场;(x0)(x-x0)=0是等高面(x)=(x0)在x0点的切平面;是描述数量场扩散的基本数学量.4散度场的意义设F是Rn上的一个光滑向量场,divF=·F叫做F的散度场.divF(x0)表示向量场F在x0点的发散程度:设V是包含x0点(x0点为内点)的区域F在V上的平均发散程度定义为当

3、V

4、趋于零时,由Gauss公式就得到上面的解释.divF(x0)>(<)0表示x0是F的源(或漏)点.5梯度场的散度场设是Rn上的一个光滑实值函数(纯量场),其梯度场的散度场div=D在讨论温度场和密度场等数量场时是基

5、本的.D=·叫Laplace算子如果divF=0,就称F为无源场,例如三维空间中,向量场的旋度场就是无源场.6旋度场的意义设F=(P,Q,R)是R3上的一个光滑向量场.rotF=curlF=F叫F的旋度.curlF(x0)表示向量场F在x0点的环流(涡旋)程度(是一个向量).它的解释要复杂一些:取定义个方向n(单位向量),S是过x0点与n垂直的平面区域C是其边界曲线,取其方向与n的方向成右手螺旋,定义F在S上在n方向上的平均环流为7旋度场的意义(续)当

6、S

7、趋于零时,其极限定义为定义F在x0点在n方向的环流curl(F,n)(x0),由Stokes公式,curl(F,n

8、)(x0)=curl(F)(x0)·n如果一个F的旋度为零,F称为无旋场.例如梯度场就是无旋场.8